Évaluer$\lim_{x\to-2}(3x^4+2x^2-x+1)$

Question

$$\lim_{x\to-2}(3x^4+2x^2-x+1)$$

Je dois évaluer cette limite sans utiliser les "idées de continuité". Donc je suppose que je ne peux pas remplacer$-2$dans la fonction et trouver la limite, puis-je? Comment puis-je faire pour trouver cette limite alors?

Answer 1

On peut deviner que$\lim_{x \to -2} (3x^{4}+2x^{2}-x+1)=59$et pour prouver cela, nous pouvons utiliser la définition pour montrer que$\forall \varepsilon>0 \: \exists \delta>0 \:\forall x\: |x-(-2)|=|x+2|<\delta$Nous avons

$$|3x^4+2x^2-x+1-59|=|x+2||3x^3-6x^2+14x-29|\le \varepsilon$$

alors supposez wlog$|x+2|<1$C'est$-3<x<-1$alors

$$|x+2||3x^3-6x^2+14x-29|\le \delta|3x^3-6x^2+14x-29| \le 206 \,\delta$$

puisque$f(x)=x^3-6x^2+14x-29$est négatif strictement croissant pour$x\in[-3,-1]$et$|f(-3)|=206$, alors il suffit de supposer

$$\delta \le \frac{\varepsilon}{206}$$

Reportez-vous également aux

• Trouver un "convenable"$\delta$donné une limite
• Une question concernant (ε, δ)-définition de la limite

Answer 2

Depuis que$$lim_{x \to -2} 3x^{2}=3(-2)^{4},$$ $$\lim_{x\to -2}2x^{2}=2(-2)^{2},$$ $$\lim_{x\to -2}-x=-(-2)$$et$$\lim_{x \to -2}1=1$$Vous pouvez donc conclure que$$\lim_{x \to -2} (3x^{4}+2x^{2}-x+1)$$existe et aussi$$\lim_{x \to -2} (3x^{4}+2x^{2}-x+1)=3(-2)^{4}+2(-2)^{2}-(-2)+1=59.$$

Notez que vous n'avez besoin que de la propriété des limites.