Évaluer une limite de suite de probabilités

Aug 19 2020

Laisser$X_1, X_2, \ldots$être une séquence de iid variables aléatoires avec une distribution concentrée sur$[1,\infty)$et second moment fini. Nous supposons que$a=E\ln X_1$,$\sigma^2=\operatorname{Var}\ln X_1$.

Comment évaluer une limite de suite de probabilités$$\Pr\left(\prod_{i=1}^{n}X_i\leq \left(\prod_{i=1}^{n}X_i^2\right)^{\frac{1}{\sqrt n}}e^{na}\right) ? $$Je n'ai aucune idée de comment commencer. Je suppose que cela peut être associé au théorème central limite, mais je ne suis pas sûr.

Réponses

2 SherwinLott Aug 30 2020 at 06:59

Prendre des logarithmes et laisser$Y_{i} = \ln(X_{i})$:

$$\prod_{i=1}^{n}X_i\leq \left(\prod_{i=1}^{n}X_i^2\right)^{\frac{1}{\sqrt n}}e^{na}$$

$$\begin{align} &\Longleftrightarrow \sum_{i=1}^{n} Y_{i} \leq \frac{2}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^{n} Y_{i} + na\\ &\Longleftrightarrow \sum_{i=1}^{n} (Y_{i}-a) - \frac{2}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^{n} Y_{i} \leq 0 \\ &\Longleftrightarrow A_{n} \equiv \frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^{n} (Y_{i}-a) - \frac{2}{n}\sum_{i=1}^{n} Y_{i} \leq 0 \end{align}$$

Le premier terme converge en distribution vers$N(0, \sigma^{2})$par le théorème central limite, et le second terme converge en probabilité vers$-2a$par la loi faible des grands nombres, donc$A_n$converge en distribution vers$N(-2a, \sigma^{2})$.

$$\mathbb{P}(A_{n} \leq 0 ) \rightarrow \Phi\left(\frac{2a}{\sigma}\right)$$

$\Phi$est la cdf normale standard.