Exemple de variable aléatoire non dégénérée avec moments impairs = 0

Question

Pensez à un exemple de variable aléatoire non dégénérée pour laquelle tous les moments impairs sont identiques à zéro. Donnez la fonction de masse de probabilité de la variable aléatoire et indiquez une quantité qu'elle pourrait représenter.

Au début, j'ai pensé lancer un dé car il n'est pas dégénéré, mais je ne crois pas que ses moments étranges soient de 0. Est-ce que quelqu'un est capable de trouver un exemple et de l'expliquer brièvement?

Answer 1

1. Variable aléatoire continue

Un gaussien standard, $X\sim N(0;1)$ travaux.

$$\mathbb{E}[X^{2n+1}]=0$$

$\forall n \in \mathbb{N}$

La preuve est assez facile en élargissant son MGF en série Taylor et en dérivant

Il peut représenter l'erreur de mesure lors de la mesure de la longueur du bâton suivant

2. Variable aléatoire discrète

$Y$ est une variable aléatoire prenant les valeurs $Y=\pm1$ avec probabilité $\mathbb{P}[Y=-1]=\mathbb{P}[Y=1]=\frac{1}{2}$

$$\mathbb{E}[Y^{2n+1}]=\frac{1}{2}[(-1)^{2n+1}+1^{2n+1}]=0$$

$\forall n \in \mathbb{N}$

$Y$ représente la fonction suivante

$$Y=2X-1$$

Où $X\sim B\Big(\frac{1}{2}\Big)$, un camping-car Bernoulli avec le paramètre 0.5

Il peut représenter le gain aléatoire lorsque vous jouez à "lancer un jeu de pièces justes" gagnant $\$1 $ si H et perdre $ \$1$ si T