Existe-t-il un bon moyen d'écrire mathématiquement une opération CNOT sur des qubits non voisins dans un circuit? [dupliquer]

Question

Je me demandais s'il y avait un moyen de présenter la matrice CNOT car nous présentons généralement des opérations à un qubit

$$... 1 \otimes NOT \otimes 1 ...$$

Je sais que pour les qubits adjacents dans un circuit, nous pouvons le présenter de manière identique

$$... 1 \otimes CNOT \otimes 1 ...$$

Mais y a-t-il un moyen de présenter l'opération mathématiquement s'il y a plusieurs CNOTs agissant sur des fils non voisins?

Answer 1

Si vous faites uniquement référence à la représentation abstraite du circuit, vous pouvez simplement réorganiser votre base de telle sorte que tous les qubits participant aux CNOT soient rendus "adjacents" selon votre étiquetage. Par exemple, si la base est ordonnée comme$1,2,3$, et vous voulez effectuer un CNOT entre les qubits 1 et 3, alors vous écrivez simplement quelque chose comme

$$ CNOT_{1,3} \otimes I_2 $$

où la base est maintenant commandée $1,3,2$. Mais si vous ne souhaitez pas réorganiser la base, il existe également une autre façon d'écrire le CNOT:

$$ |0\rangle\langle0|\otimes I + |1\rangle\langle1|\otimes X $$

qui pourrait inclure une identité sur l'état du deuxième qubit comme

$$ (|0\rangle\langle0|)_1 \otimes I_2 \otimes I_3 + (|1\rangle\langle1|)_1 \otimes I_2 \otimes X_3 $$

Il ne s'agit plus simplement d'un produit unitaire, ce qui est attendu puisque l'action du CNOT ne doit pas se factoriser en produit d'opérations.

Answer 2

Personnellement, je me définis juste une notation. Par exemple, au lieu du NOT que vous avez noté, je définis$X_n$ être $$ X_n=1^{\otimes(n-1)}\otimes X\otimes 1^{\otimes(N-n)}. $$ De même, je pourrais alors définir $CNOT^i_j$ être contrôlé-non contrôlé $i$ et ciblage $j$. Si je devais l'écrire sous forme de produits tensoriels, je ferais probablement quelque chose comme$$ 1^{\otimes N}+1^{\otimes (i-1)}\otimes |1\rangle\langle 1|\otimes 1^{\otimes(j-i-1)}\otimes(X-1)\otimes 1^{\otimes(N-j)} $$ en supposant $j>i$.