Existe-t-il une base de données sur les valeurs particulières de $j$-invariant?

Dec 26 2020

Existe-t-il une base de données contenant toutes les valeurs particulières connues du $j$-invariant?

Réponses

7 JoeSilverman Dec 26 2020 at 04:52

Qu'entendez-vous par «connu»? Pour toute$\tau\in\mathbb C$ avec $\text{Im}(\tau)>0$, on peut calculer $j(\tau)$avec autant de précision que son ordinateur le permet, mais ce n'est probablement pas ce que vous voulez dire. En général, si$\tau$ est algébrique et $[\mathbb Q(\tau):\mathbb Q]\ge3$, ensuite $j(\tau)$ est transcendantale $\mathbb Q$, vous devez donc expliquer ce qui constituerait une «connaissance» de la valeur. Lorsque$\tau$ est quadratique $\mathbb Q$, la courbe ellitpique associée a CM, et $j(\tau)$ génère le champ de classe Hilbert de $\mathbb Q(\tau)$. Dans ce cas, on peut en principe déterminer le champ puis écrire$j(\tau)$en termes de base pour ce domaine. C'est ce que tu veux dire? Si tel est le cas, je suis sûr que de nombreux exemples ont été élaborés au fil des ans, mais je ne suis pas au courant d'un endroit où ils ont été compilés. Bien que vraisemblablement ils aient été faits pour tous les champs quadratiques imaginaires de petit nombre de classes. Il existe un exemple de calcul pour$\tau=\frac{1+\sqrt{-15}}{2}$dans mon livre Advanced Topics in the Arithmetic of Elliptic Curves (Exemple II.6.2.2), où il est montré que$$ j\left(\frac{1+\sqrt{-15}}{2}\right) = -52515-85995\frac{1+\sqrt{5}}{2}. $$ (Le champ $\mathbb Q(\sqrt{-15})$ a le numéro de classe 2, et son champ de classe Hilbert est $\mathbb Q(\sqrt{-15},\sqrt5)$.)

1 KhashF Jan 27 2021 at 14:01

Toute base de données (finie) contenant des expressions explicites pour les invariants j des courbes elliptiques avec CM peut être étendue en ajoutant des invariants j des courbes elliptiques isogènes. Étant donné une courbe elliptique$E$ sous sa forme Weierstrass et un sous-groupe fini $F$de celui-ci, un article classique de Velu fournit des équations explicites pour$E':=E/F$ et l'isogénie $E\rightarrow E'$. Supposons maintenant que nous travaillions sur$\Bbb{C}$ et nous savons que $E$ est isomorphe à $\frac{\Bbb{C}}{\Bbb{Z}+\Bbb{Z}\tau}$, d'où la connaissance de la valeur spéciale $j(\tau)$. le$j$-invariant de $E'$, qui peut être calculé explicitement en utilisant son équation, donne alors une autre valeur spéciale $j(\tau')$ du modulaire $j$-fonction où $\tau'$ est une période de $E'$. Alternativement, on peut partir de la courbe cible et monter pour obtenir le$j$-invariant d'une courbe elliptique au-dessus. Pour ce faire, supposons une forme Legendre$y^2=x(x-1)(x-\lambda)$ pour une courbe elliptique CM $\frac{\Bbb{C}}{\Bbb{Z}+\Bbb{Z}\tau}$ est fourni ($\lambda$est un nombre algébrique). En d'autres termes, supposons que nous ayons$j(\tau)=256\frac{(\lambda^2-\lambda+1)^3}{(\lambda^2-\lambda)^2}$dans notre base de données. Considérez l'isogénie$\frac{\Bbb{C}}{\Bbb{Z}+\Bbb{Z}(2\tau)}\rightarrow\frac{\Bbb{C}}{\Bbb{Z}+\Bbb{Z}\tau}$. En analysant les formulaires Legendre possibles pour$\frac{\Bbb{C}}{\Bbb{Z}+\Bbb{Z}(2\tau)}$, on peut montrer son $j$-invariant $j(2\tau)$ appartient à $$\left\{16\frac{(u+\frac{1}{u}+14)^3}{(u+\frac{1}{u}-2)^2}\,\Big|\,u\in\left\{\lambda,1-\lambda,1-\frac{1}{\lambda}\right\}\right\}.$$ Il y a donc trois candidats pour $j(2\tau)$, chacun sous la forme d'un nombre algébrique explicite. Approximatif$j(2\tau)$ numériquement via le $q$-expansion, on peut choisir l'expression correcte pour $j(2\tau)$parmi eux et l'ajouter à la base de données. Les détails de cette approche pour l'informatique$j(2\tau)$ en terme de $j(\tau)$peuvent être trouvés dans cet article . Une méthode analogue existe pour$j(3\tau)$. Donc à commencer par par exemple$j(i)=1728$, pour deux entiers positifs quelconques $m$ et $n$, une expression exacte pour $j\left(2^m3^ni\right)$peut être obtenu. Par exemple$j(2i)=66^3$ et $j(3i)= 64(387+224\sqrt{3})^3(97−56\sqrt{3})$.