Existe-t-il une fonction de comptage générale liée à la fonction de comptage premier ?
Existe-t-il une fonction de comptage générale liée à la fonction de comptage premier ?
Disons par exemple que je voulais tous les multiples entiers positifs de trois inférieurs ou égaux à N, y a-t-il un multiple de 3 inférieur ou égal à la fonction de comptage N ?
Parfois, je peux vouloir tous les multiples entiers positifs d'un produit de nombres premiers, par exemple 15, existe-t-il des multiples positifs de 3 et 5 inférieurs ou égaux à la fonction de comptage N ?
Réponses
Juste pour développer mon commentaire : Si vous pouvez l'imaginer, cela existe. Il doit être bien défini s'il compte simplement si les entiers ont une propriété ou non. Vous pouvez voir n'importe quelle fonction de comptage comme la somme cumulée d'une fonction indicatrice qui vaut 1 ou 0 pour chaque entier.
Envisagez une fonction d'indicateur pour votre propriété$A$,$\chi_A(n)$. Comme vous l'avez indiqué, vous pouvez définir une fonction de comptage$\pi_A(n)$as [en supposant que nous nous intéressons aux entiers strictement positifs]$$ \pi_A(n) = \sum_{k=1}^n \chi_A(k) $$des résultats intéressants liés à cela incluent une fonction de génération de différence. Pour les nombres premiers$p_k$, et fonction de comptage premier$\pi_p(n)$ $$ \sum_{k=p_1}^\infty x^{\pi_p(k)} = \sum_{k=1}^\infty (p_{k+1}-p_k)x^k $$en général pour toute fonction de comptage, pour les nombres$a_k$, relatif à l'état$A$ $$ \sum_{k=a_1}^\infty x^{\pi_A(k)} = \sum_{k=1}^\infty (a_{k+1}-a_k)x^k $$par exemple, la fonction de comptage de nombres$\chi_n(n)=1$, donne$\pi_n(n)=n$et$$ \sum_{k=1}^\infty x^{\pi_n(k)} = \sum_{k=1}^\infty (k+1-k)x^k=\frac{x}{1-x} $$dans ce cas$\pi_n(n)$est la fonction de comptage qui croît le plus rapidement et elle augmente linéairement.
Considérez la fonction d'indicateur carré$\chi_{\square}(n)$, sous condition$\square(n):\sqrt{n}\in \mathbb{N}$, ensuite nous avons$$ \pi_\square(n) = \sum_{k=1}^n \chi_\square(k) $$alors$$ \sum_{k=1}^\infty x^{\pi_\square(k)} = \sum_{k=1}^\infty ((k+1)^2-k^2)x^k = \frac{3x-x^2 }{(x-1)^2} $$un de mes préférés est$\pi_p(\pi_p(n))$c'est-à-dire la fonction de comptage premier imbriqué, qui se rapporte à la séquence A073131 comme$$ \sum_{k=3}^\infty x^{\pi_p(\pi_p(k))} = \sum_{k=1}^\infty (p_{p_{k+1}} - p_{p_k})x^k $$donc on peut voir$\pi_p(\pi_p(n))$ compte les nombres premiers indexés , tels que 3, 5, 11, 17, 31, 41, 59, 67, 83, 109,... ou A006450 . On voit que toute suite d'entiers strictement croissants aura une fonction indicatrice, donc une fonction de comptage, et aussi une fonction génératrice de différence. Nous pouvons imbriquer différents types de fonctions de comptage, par exemple$$ \sum_{k=3}^\infty x^{\pi_\square(\pi_p(k))} = \sum_{k=1}^\infty (p_{(k+1)^2} - p_{k^2})x^k $$nous dit$\pi_\square(\pi_p(k))$ compte les nombres premiers dont les indices sont carrés , ce qui nous apprend qu'une chaîne générale de compositions donne$$ \sum_{k=x}^\infty x^{\pi_{A} \circ \pi_{B} \circ \cdots \pi_{Z} \circ k} = \sum_{k=1}^\infty (z \circ \cdots \circ b \circ a \circ (k+1) - z \circ \cdots \circ b \circ a \circ (k))x^k $$et qu'une composition de fonctions de comptage est aussi une fonction de comptage , car ce membre de droite n'est qu'une différence de termes.
Vos exemples : les multiples entiers positifs de trois vont comme$3,6,9,12,...$, la fonction indicatrice pourrait éventuellement s'écrire$$ \chi_{m3}(n) = \bmod(1+2n^2,3) $$la fonction de comptage qui lui est associée est$$ \pi_{m3}(n) = \left\lfloor \frac{n}{3} \right\rfloor $$qui utilise la notation pour la fonction de plancher. On peut utiliser le concept d'emboîtement pour les multiples de 15, on a$$ \pi_{m15} = \pi_{m3}(\pi_{m5}(n)) = \pi_{m5}(p_{m3}(n)) = \left\lfloor \frac{\left\lfloor \frac{n}{5} \right\rfloor}{3} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{\left\lfloor \frac{n}{3} \right\rfloor}{5} \right\rfloor $$cela devrait compter les nombres divisibles par$5$dont les indices sont divisibles par$3$ou vice versa.