Explication intuitive de la raison pour laquelle «opérateur fantôme» $\frac D{e^D-1}$ relie les logarithmes aux fonctions trigonométriques?
Considérez l'opérateur $\frac D{e^D-1}$ que nous appellerons "shadow":
$$\frac {D}{e^D-1}f(x)=\frac1{2 \pi }\int_{-\infty }^{+\infty } e^{-iwx}\frac{-iw}{e^{-i w}-1}\int_{-\infty }^{+\infty } e^{i t w} f(t) \, dt \, dw$$
Les intégrales ici doivent être comprises comme des transformées de Fourier.
Maintenant, intuitivement, pourquoi ce qui suit?
$$\left.\frac {D_x}{e^{D_x}-1} \left[\frac1\pi\ln \left(\frac{x+1/2 +\frac{z}{\pi }}{x+1/2 -\frac{z}{\pi }}\right)\right]\right|_{x=0}=\tan z$$
Il existe d'autres exemples où shadow convertit des fonctions trigonométriques en trigonométriques inverses, des logarithmes en exposants, etc.:
$$\left.\frac {D_x}{e^{D_x}-1} \left[\frac1{\pi }\ln \left(\frac{x+1-\frac{z}{\pi }}{x+\frac{z}{\pi }}\right)\right]\right|_{x=0}=\cot z$$
Réponses
Il s'agit essentiellement d'une version légèrement transformée de l'expansion de fraction partielle cotangente d'Euler $$ \pi \cot(\pi z) = \frac{1}{z} + \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{z-n} + \frac{1}{z+n}$$ (le dérivé logarithmique de sa fameuse formule de produit sinusoïdal $\frac{\sin \pi z}{\pi z} = \prod_{n=1}^\infty \big(1-\frac{z^2}{n^2}\big)$). En télescopant la série, on peut réécrire ceci comme$$ \pi \cot(\pi z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{z-n-1} + \frac{1}{z+n}.$$ Par le théorème de Taylor, $e^{nD_x}$ est l'opération de traduction par $n$, donc formellement par séries géométriques nous avons $$ \left.\frac{1}{1-e^{D_x}} f\, \right|_{x=0} = \sum_{n=0}^\infty \left.e^{nD_x} f\right|_{x=0} = \sum_{n=0}^\infty f(n)$$ (ce qui aide d'ailleurs à expliquer la formule d'Euler-Maclaurin) et ainsi $$ \pi \cot(\pi z) = \left.\frac{1}{1-e^{D_x}} \left(\frac{1}{z-x-1} + \frac{1}{z+x}\right) \right|_{x=0}$$ ou équivalent $$ \pi \cot(\pi z) = - \left.\frac{D_x}{1-e^{D_x}} \ln \frac{x+z}{x+1-z} \right|_{x=0}.$$ Cela donne vos identités après quelques réarrangements simples (et en remplaçant $z$ soit $z/\pi$ ou alors $z/\pi + 1/2$).
La principale raison de l'identité de fraction partielle d'Euler est que les pôles et les résidus de la fonction cotangente sont facilement identifiés et calculés. La raison pour laquelle ils peuvent être réduits en une expression impliquant l'opérateur de sommation$\frac{1}{1-e^{D_x}}$est que ces pôles et résidus jouissent d'une invariance de translation, qui vient finalement de la périodicité de la fonction cotangente. J'imagine qu'il existe des identités similaires pour le Weierstrass$\wp$ fonction, qui est doublement périodique avec un comportement des pôles très spécifique.
L'op $$T_x = \frac{D_x}{e^{D_x}-1} = e^{b.D_x},$$
où $(b.)^n = b_n$sont les nombres de Bernoulli, est (signes mod) souvent appelé l' opérateur Todd (peut-être à l'origine donné ce nom par Hirzebruch, qui l'a utilisé pour construire sa classe caractéristique Todd).
Il a une propriété discrétisante (ou dérivée) qui peut être exprimée des manières utiles suivantes
$$f(x) = T_x T_x^{-1} f(x) = \frac{D}{e^D-1} \frac{e^D-1}{D} f(x) = T_x \int_{x}^{x+1} f(t) dt$$
$$ = e^{b.D} \;\int_{x}^{x+1} f(t) dt = \int_{b.+x}^{b.+x+1} f(t) dt =\int_{B.(x)}^{B.(x)+1} f(t) dt$$
$$ = F(B.(x)+1) - F(B.(x)) = F(B.(x+1)) - F(B.(x)) = D_x \; F(x),$$
où
$$B_n(x) = (b.+x)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \; b_n \; x^{n-k}$$
sont les célèbres polynômes Appell Bernoulli, avec l'egf $e^{B.(x)t}= e^{(b.+x)t} = \frac{t}{e^t-1}e^{xt}$, et $F(x)$ est l'intégrale / primitive indéfinie de $f(x)$. La dernière égalité illustre la propriété dérivationnelle des polynômes de Bernoulli et les définit complètement.
Cela mène à
$$\sum_{k=0}^n f(x+k) = T \; \int_{x}^{x+n+1} f(t) dt $$
$$ = e^{b.D} \; \int_{x}^{x+n+1} f(t) dt = \int_{B.(x)}^{B.(x+n+1)} f(t) dt$$
$$ = F(B.(x+n+1)) - F(B.(x)),$$
et, en particulier, la chaîne de relations
$$\sum_{k=0}^n (x+k)^s =T_x \; \int_{x}^{x+n+1} t^{s} dt $$
$$= e^{b.D} \int_{x}^{x+n+1} t^{s} dt = \int_{B.(x)}^{B.(x+n+1)} t^s dt$$
$$ = T_x \; \frac{(x+n+1+)^{s+1} -x^{s+1}}{s+1} = e^{b.D} \frac{(x+n+1+)^{s+1} -x^{s+1}}{s+1}$$
$$ = \frac{(B.(x+1+n))^{s+1} -(B.(x))^{s+1}}{s+1} = \frac{B_{s+1}(x+1+n) - B_{s+1}(x)}{s+1}$$
$$ = \sum_{k=0}^n \frac{B_{s+1}(x+1+k) - B_{s+1}(x+k)}{s+1}$$
$$ = \sum_{k=0}^n \frac{(B.(x+1+k))^{s+1} - (B.(x+k))^{s+1}}{s+1}$$
$$ = \sum_{k=0}^n D_x \; \frac{(x+k)^{s+1}}{s+1}.$$
Si vous prenez correctement la limite $s \to -1$, vous arrivez à une relation avec le logarithme naturel d'où, avec les extensions en série des fonctions trigonométriques dans la réponse de Terry Tao, vous pouvez dégager vos formules particulières.
Pour une application illustrative plus sophistiquée de la formule de discrétisation, voir Eqn. 1, "la formule Khovanskii-Pukhlikov, l'équivalent combinatoire de la formule Hirzebruch-Riemann-Roch (HRR) pour une variété torique lisse X avec un diviseur D très ample ..." à la page 2 du "$T_y$- opérateur sur intégrales sur polytopes de réseau "par Goda, Kamimura et Ohmoto.
Notez également la séquence inverse ombrale des polynômes de Bernoulli, les polynômes de puissance Appell
$$\hat{B}_n(x) = \frac{(x+1)^{n+1}-x^{n+1}}{n+1},$$
avec le .egf $\frac{e^t-1}{t}\; e^{xt}$, est défini aussi par l'inversion compositionnelle ombrale
$$B_n(\hat{B}.(x)) = x^n = \hat{B}_n(B.(x)),$$
alors le
- propriété dérivée des polynômes Appell Bernoulli
$$ \frac{(B_.(x)+1)^{n+1}}{n+1} - \frac{(B.(x))^{n+1}}{n+1} = \frac{(b.+x+1)^{n+1} - (b.+x)^{n+1}}{n+1}$$
$$ = \frac{B_{n+1}(x+1) - B_{n+1}(x)}{n+1} = \hat{B}_n(B.(x)) = x^n = D \; \frac{x^{n+1}}{n+1},$$
- relation réciproque des egfs définissant les moments de la paire inverse de séquences polynomiales d'Appell
$$B(t) =e^{b.t}= \frac{t}{e^t-1},$$
$$\hat{B}(t) = e^{\hat{b}.t}=\frac{e^t-1}{t}, $$
- réciprocité des opérations duales
$$T= B(D) = \frac{D}{e^D-1} = e^{b.D},$$
$$T^{-1}= \hat{B}(D) = \frac{e^D-1}{D} = e^{\hat{b}.D},$$
- propriétés génératrices de polynômes doubles des opérations
$$T \; x^n = \frac{D}{e^D-1} \; x^n = e^{b.D} \; x^n = (b. + x)^n = B_n(x), $$
$$ T^{-1} \; x^n = \frac{e^D-1}{D} \; x^n = e^{\hat{b.}D} x^n = (\hat{b.}+x)^n = \hat{B}_n(x),$$
- relation inverse compositionnelle ombrale des ensembles doubles de polynômes
$$ B_n(\hat{B}.(x)) = T^{-1} \; T \; x^n = x^n = T \; T^{-1} \; x^n = \hat{B}_n(B.(x)),$$
- et la propriété discrétisante de l'opérateur Todd
$$ x^n = T \; T^{-1} x^n = T \; \int_{x}^{x+1} t^n \; dt$$
$$ = T \frac{(x+1)^{n+1} - x^{n+1}}{n+1}$$
$$ =\frac{(B.(x)+1)^{n+1} -(B.(x))^{n+1}}{n+1} = \hat{B}_n(B.(x))$$
sont tous intimement (et productivement) liés, différentes facettes d'une dualité Appell, et peuvent être généralisés via la transformée de Mellin.
Ce n'est pas toute l'histoire - les relations sont encore plus profondes à travers une algèbre de Weyl, un commutateur Graves / Lie / Pincherle et des opérations en échelle - mais cette perspective conduit déjà à une exploration plus approfondie. Par exemple, on obtient de démarrer dans la limite comme$n \to +\infty$ pour la somme discrétisante une fonction zêta de Hurwitz modifiée comme généralisation (interpolation) des polynômes de Bernoulli,
$$ B_{-s}(x) = s \; \zeta(s+1,x),$$
qui hérite des propriétés d'une séquence Appell de polynômes.
L'équation `` fantôme '' est quelque peu restrictive puisqu'elle suppose le FT de $f(x)$existe, ce qui n'est pas une condition nécessaire pour que la propriété de discrétisation s'applique; par exemple, notez la formule similaire d' Abel-Plana transformée de Laplace .
Avec une normalisation différente pour le FT,
$$FT(f(x)) = \tilde{f}(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i 2\pi \omega x} f(x) \; dx,$$
et
$$f(b.+x) = e^{b.D_x} f(x) = \frac{D_x}{e^{D_x}-1} \; f(x) = \frac{D_x}{e^{D_x}-1} FT^{-1}[\tilde{f}(\omega)]$$
$$ = \frac{D_x}{e^{D_x}-1} \; \int_{-\infty}^{\infty} e^{i 2\pi \omega x} FT[f(x)] \; d\omega = \int_{-\infty}^{\infty} e^{i 2\pi \omega x} \frac{i 2\pi \omega}{e^{i 2\pi \omega}-1} FT[f(x)] \; d\omega. $$
Caractériser l'action de l'opérateur Todd en utilisant plutôt l' interpolation de transformée de Mellin à la Ramanujan / Hardy, donne une route alternative et constructive à la fonction zêta de Hurwitz:
$$ B_{-s}(z) = (B.(z))^{-s} = (b.+z)^{-s} = e^{b.D_z} \; z^{-s}$$
$$ = e^{b.D_z} \int_{0}^{\infty} e^{-zt} \; \frac{t^{s-1}}{(s-1)!} \; dt$$
$$ = \int_{0}^{\infty} e^{-(b.+z)t} \; \frac{t^{s-1}}{(s-1)!} \; dt$$
$$ =\int_{0}^{\infty} e^{-B.(z)t} \; \frac{t^{s-1}}{(s-1)!} \; dt $$
$$ = \int_{0}^{\infty} \frac{-t}{e^{-t}-1} \; e^{-zt} \frac{t^{s-1}}{(s-1)!} \; dt = s \; \zeta(s+1,z).$$
Une extension en série pour la fonction Appell Bernoulli pour tous réels ou complexes $s$ et réel ou complexe $z$ avec $|z-1| < 1$ est donnée par l'expansion binomiale ombrale
$$s \; \zeta(s+1,z) = B_{-s}(z)$$
$$ = (b.+z)^{-s} = (b. + 1 - 1 + z)^{-s} = (B.(1)+z-1)^{-s}$$
$$ = \sum_{n \geq 0} \binom{-s}{n} B_{-s-n}(1) \; (z-1)^n = \sum_{n \geq 0} \binom{-s}{n} (s+n) \; \zeta(s+n+1) \; (z-1)^n$$
où
$$(b.+1)^{-s} = (B.(1))^{-s} = B_{-s}(1) = s \; \zeta(s+1,1) = s \; \zeta(s+1)$$
avec $\zeta(s)$, la fonction zêta de Riemann.