Expression analytique d'un potentiel «muffin-étain» de réseau atomique à des fins d'illustration et de calculs de diffusion simples

Dec 03 2020

Avant de plonger en profondeur (voir les questions liées ci-dessous) dans le calcul de la diffraction d'électrons de 20 à 200 eV à partir de surfaces cristallines, j'aimerais générer un simple «potentiel muffin-étain» (voir ci-dessous) à partir d'une simple approximation analytique qui correspond à ce qui pourrait être calculé comme le potentiel électrostatique qu'un électron incident ressentirait en passant à travers un atome de taille moyenne (hydrogène << atome << uranium) disposé dans un cristal.

Je peux commencer à apprendre à calculer les déphasages et les distributions angulaires avec cela.

L' approximation Muffin-étain de Wikipedia en parle mais n'offre aucune équation hors de la main.

L'approximation d'ordre zéro serait une charge ponctuelle nucléaire positive et une sphère uniforme de charge négative et je peux certainement commencer par cela; avec un vague argument d'uniformité basé sur le principe d'exclusion. Un "potentiel interne" plat de 5 à 15 eV est souvent supposé entre les atomes dans ce contexte. A de petites distances, il faudrait l'aplatir car près du noyau, il va à l'infini.

Question: Mais y a-t-il une meilleure approximation que celle disponible?

Coupe transversale d'un "moule à un muffin" fabriqué à partir d'un uniforme $r = 1$sphère électronique et noyau ponctuel, aplatis arbitrairement en bas. Ceux-ci seraient disposés dans l'espace à l'emplacement de chaque atome et un potentiel constant remplirait l'espace entre eux.

Objectif à long terme pour le fond uniquement:

Vue d'ensemble de la façon dont les simulations de diffraction d'électrons dynamiques à faible énergie auto-cohérentes sont effectuées
Les méthodes du domaine temporel à différence finie ont-elles fait des percées dans la simulation dynamique de la diffusion d'électrons et / ou de rayons X par les cristaux?
Diagrammes de diffraction d'électrons à basse énergie simulés (LEED)

Réponses

7 wyphan Dec 04 2020 at 02:43

La méthode des ondes planes augmentées (APW) et, par extension, la méthode des ondes planes augmentées linéairement sont toutes deux des généralisations de l'approximation Muffin Tin.

Dans les méthodes APW et LAPW, le potentiel $V(r)$ est défini comme une fonction par morceaux [1] avec un seul paramètre: le rayon du muffin-tin $r_\mathrm{MT}$. $$ V(r) = % \begin{cases} \sum_{lm} V_{lm} (r) Y_{lm} (\hat{r}) & r < r_\mathrm{MT} & (\mathrm{core}) \\ V_K e^{i K r} & r > r_\mathrm{MT} & (\mathrm{interstitial}) \end{cases}$$

Les valeurs du potentiel $V(r)$, la fonction d'onde $\phi(r)$, et la densité électronique $\rho(r)$ sont appariés à $r = r_\mathrm{MT}$ pour s'assurer que le dérivé existe pour chacun d'eux.

L'illustration suivante est tirée de Singh & Nordstrom (2006) [2],

En résolvant l'équation non relativiste de Schrödinger, le même livre remarque ce qui suit au ch. 5, p. 63.

Ces équations différentielles [l'équation de Schrödinger radiale] peuvent être résolues sur le maillage radial en utilisant des méthodes standard, par exemple prédicteur-correcteur.

Sur l'appariement des deux parties par morceaux (ch.4, p. 44):

Notant qu'à partir de l'équation de Schrödinger, $$ (E_2 - E_1) ~ r ~ u_1 (r) ~ u_2 (r) = u_2 (r) ~ \frac{ \mathrm{d}^2 ~ r ~ u_1(r) }{\mathrm{d}r^2} - u_1 (r) ~ \frac{ \mathrm{d}^2 ~ r ~ u_2(r) }{\mathrm{d}r^2} $$ où $u_1 (r)$ et $u_2 (r)$ sont des solutions radiales à différentes énergies $E_1$ et $E_2$. Le chevauchement est construit en utilisant cette relation et en intégrant par parties; les termes de surface disparaissent si l'un ou l'autre$u_1 (r)$ ou $u_2 (r)$ disparaissent à la limite de la sphère, tandis que les autres termes s'annulent.

Quoi qu'il en soit, je ne pense pas personnellement que la résolution de l'équation radiale de Schrödinger soit trop coûteuse en calcul, étant donné l'état actuel des ordinateurs. Mais si vous voulez l'éviter à tout prix, il y a le modèle Kronig-Penney , qui est beaucoup plus simple au détriment de la précision.