Fonctions p-adiques analytiques qui prennent une valeur algébrique

Question

Supposons qu'il existe$r\in\mathbb R$telle que la fonction p-adique non constante$f(z)=\sum_{n\ge0}a_nz^n$($a_n\in\mathbb C_p$) est défini sur$\mathcal D=\{z\in\mathbb C_p\mid v_p(z)>r\}$. Existe-t-il$\alpha\in\overline{\mathbb Q}\cap f(\mathcal D)$? Si la réponse est oui, existe-t-il$\alpha\in{\overline{\mathbb Q}}\cap f(\mathcal D\cap\mathbb Q_p)$?

Answer 1

Pour le premier, oui. Sans perte de généralité par déplacement, nous pouvons supposer$a_1 \neq 0$.

Pour$\alpha\in \mathbb Q$, laisser$x_0=0$et$x_{n+1} = x_n + \frac{\alpha-f(x)}{a_1}$. Pour vérifier ça$x_n$converge comme$n$va à l'infini à une racine de$\alpha-f(x)$, il suffit de vérifier que$v_p ( \alpha - f(x_{n+1})) \geq v_p ( \alpha - f(x_n)) + 1$.

Pour ce faire, il suffit d'avoir$v_p(x_n) \geq s$et$v_p( x_{n+1}- x_n) \geq s$pour certains$s \in \mathbb R$tel que$v_p (a_n)+n s> v_p (a_1) + s + 1$pour tous$n > 1$, comme alors les contributions de$a_2$et supérieur à$\alpha - f(x_{n+1})$sera dominé par la contribution de$a_1$.

Ceci est facile à assurer en choisissant d'abord un tel$s < \frac{ v_p (a_n) - v_p(a_1) - 1}{ n-1}$pour tous$n>1$(en vérifiant que cette série est délimitée ci-dessous) puis en choisissant$alpha$tel que$v_p ( \alpha- a_0) > a_1 + s$, pour que$v_p(x_1-x_0)>s$et donc inductivement$v_p(x_{n+1} -x_n) >s$pour tous$n$.

Pour le second, non. Prends simplement$f(z) = z + b$où$b\notin \mathbb Q_p + \overline{\mathbb Q}$. Depuis$\mathbb C_p/\mathbb Q_p$est indénombrable, tel$b$existe.