Généralisation universelle ( $\forall$ - JE)

Question

Avec cette règle de déduction, dans la prémisse de la règle: le terme à substituer à une variable doit être arbitraire (se référer à un d arbitraire$\in$ RÉ).

Qu'est-ce qui constitue arbitraire et non arbitraire?

1. $ P(a) \quad\quad Premise$
2. $ \forall x P(x) \quad (1), \forall-I: a/x$

Le terme john ne serait-il pas considéré comme arbitraire et donc la ligne 2 serait incorrecte?

1. $ P(john) \quad Premise$
2. $ \forall x P(x) \quad (1), \forall-I: john/x$

Answer 1

Tout d'abord, j'espère que vous comprenez l'intuition derrière ceci:

Le simple fait qu'un objet spécifique possède une propriété ne signifie évidemment pas que tous les objets du domaine ont cette propriété.

Cependant, si un objet arbitraire du domaine a une propriété, tous les objets en ont.

Et pour être clair: par objet «arbitraire», nous entendons: nous ne savons et n'avons rien supposé de cet objet si ce n'est qu'il s'agit d'un objet du domaine.

Maintenant, comment exactement cela est formalisé dans un système formel spécifique dépend de beaucoup de détails formels. Dans certains systèmes, des variables sont utilisées pour désigner des objets arbitraires, mais dans d'autres systèmes, des «constantes temporaires» sont utilisées, généralement en combinaison avec certains types de sous-épreuves.

Donc, si vous me demandez si vous pouvez postuler $\forall \ I$ à déduire $\forall x \ P(x)$ de $P(John)$, Je ne peux vraiment pas répondre à cela; tout dépend des spécificités du système que vous utilisez.

Answer 2

La $(\forall \text I)$la règle est:

si $\Gamma \vdash \varphi[x/a]$, puis $\Gamma \vdash \forall x \varphi$, à condition que ce paramètre $a$a est «frais» dans le sens où il n’ya pas d’autres occurrences dans $\Gamma , \varphi$

La réserve est conforme au sens intuitif de la règle: si $\varphi$ tient un objet $a$ quoi qu'il en soit, alors il tient de chaque objet.

La réserve est nécessaire pour éviter l'erreur: Jean est un philosophe, donc tout est philosophe.

Dans votre fausse preuve ci-dessus, vous avez commis exactement ces erreurs: le paramètre $a$ [dans votre cas: John] ne doit pas se produire dans $\Gamma$. Dans ton cas$\Gamma = \{ P(\text {John}) \}$.

En conclusion, le problème est: comment prouver $\vdash P(\text {John})$?

Exemple: considérons le langage du premier ordre de l'arithmétique avec des constantes individuelles $0$ et $1$ et laissez $\mathsf {PA}$la collection d' axiomes de Peano de premier ordre .

Nous avons: $\mathsf {PA} \vdash (0 \ne 1)$,

Maintenant, appliquez $(\forall \text I)$ à lui, en utilisant $0$ comme $\text {John}$, nous concluons avec: $\mathsf {PA} \vdash \forall x (x \ne 1)$.

Où est l'erreur ?