Hamiltonien pour particule de charge dans le champ électromagnétique en approximation dipolaire

Question

Pourquoi le hamiltonien $$ H = \frac{1}{2m}\left(\vec{p}-q\vec{A}\right)^2+q\Phi + V $$ être transformé en $$ H = \frac{1}{2m}\vec{p}^2 - q \vec r \vec E + V $$ dans l'approximation dipolaire, dans laquelle le potentiel vectoriel $\vec{A}$ (et, par conséquent, le champ électrique $\vec{E}$) sont supposées constantes dans l'espace?

Jusqu'à présent, j'ai trouvé trois approches pour dériver le deuxième hamiltonien.

1. Développez l'expression quadratique et la négligence $q^2 \vec{A}^2$. Bien que cela soit fréquemment appliqué dans la littérature, il n'est en fait pas nécessaire dans l'approximation dipolaire.
2. Transformez les fonctions d'onde résultantes $\psi' = \exp(-\mathrm{i}\hbar^{-1}q\vec{r}\vec{A})\psi$, comme décrit, par exemple, dans Meystre "Elements of Quantum Optics". Mais pourquoi une telle transformation est-elle valide? Clairement, la distribution de probabilité$|\psi'|^2 = |\psi|^2$ ne change pas, mais ce n'est pas exactement une transformation de jauge, n'est-ce pas?
3. Maria Goeppert-Mayer [1] déclare que le lagrangien correspondant au premier hamiltonien dans ce post est équivalent à un autre lagrangien, qui est dérivé en ajoutant le différentiel total $\mathrm{d}_t(\vec{r} \vec{A})$. Le deuxième lagrangien peut être converti en deuxième hamiltonien dans ce poste. Mais pourquoi cet ajout est-il valide?

[1] Göppert-Mayer, Maria. «Über Elementarakte mit zwei Quantensprüngen». Annalen der Physik 401,3 (1931): 273-294.

Answer 1

Dans l'espoir que cela puisse être utile à certains, je voudrais publier un bref résumé de mes conclusions.

Nous notons que l'élan canonique $\vec{p}'$ est différent de l'élan mécanique $\vec{p} = m \vec{v}$dans le premier hamiltonien. Nous visons à dériver une forme dans laquelle les deux moments coïncident. Ceci peut être réalisé en ajoutant un différentiel de temps total au lagrangien, comme décrit dans l'article de M. Goeppert-Mayer. Dans cet article et les références qu'il contient, il est expliqué en détail pourquoi l'équation d'Euler-Lagrange est invariante à cette opération. Merci à @Philip de me l'avoir signalé.

Dans le cadre du formalisme hamiltonien, cette opération correspond à une transformée canonique. Ici, j'ai trouvé cette réponse très utile. Sur la base de cette réponse, nous utilisons la transformation$$\vec{r}' = \vec{r}$$ $$\vec{p}' = \vec{p} + \nabla_\vec{r} F $$ $$H' = H - \partial_t F$$ et définir $F = - q \vec{r} \vec{A}$.

On note que le potentiel vectoriel $\vec{A}$ est supposée constante dans l'espace (au moins dans les dimensions du système de mécanique quantique), de sorte que $$\vec{p}' = \vec{p} - q A$$ et écris pour le nouveau hamiltonien $$H'(\vec{r}, \vec{p}', t) = \frac{1}{2m}\vec{p}'^2 + V + \partial_t q \vec{r} \vec{A} = \frac{1}{2m}\vec{p}'^2 + V - q \vec{r} \vec{E}.$$

Note 1: Le potentiel scalaire $\varphi$ est généralement supposé égal à zéro dans les dérivations que j'ai vues jusqu'à présent.

Remarque 2: Lorsque vous abordez la subtilité mentionnée ici, il est utile de savoir que$\partial_{\vec{r}}^2 F = 0$.