IDTFT de convolution dans le domaine fréquentiel

Dec 06 2020

J'ai tout essayé. Si vous savez vraiment comment résoudre ce problème, pourriez-vous nous donner un indice?

$$ e^{-2j\Omega}\frac{ \sin\left( \frac{7\Omega}{2}\right)}{ \sin\left( \frac{\Omega}{2} \right)}\star \frac{\sin\left( \frac{10 \Omega}{2} \right)}{\sin\left( \frac{\Omega}{2} \right) }$$

Idéalement, je voudrais trouver le Fourier de chaque "fraction" dans des propriétés séparées et ensuite utiliser les propriétés: $x(n - n_o) \rightarrow e^{-jn_0\Omega}X(\omega)$ donc ça ne me dérange pas $$ e^{-2j\Omega}$$ mais j'ai 2 problèmes:

  1. Je ne peux pas utiliser $\displaystyle \frac{\sin\left(\left(n+\frac 12\right)\Omega\right)}{\sin\left(\frac \Omega 2\right)}$ pour $(n+1/2) = 10/2$ car $n \in Z$
  2. Dans DTFT, dans mon livre, il n'y a pas de propriété comme dans le temps continu pour transformer la convolution en $\Omega$ domaine à la multiplication dans le domaine temporel, donc je ne sais pas quoi faire ici aussi.

mise à jour:
Après quelques commentaires et l'aide de personnes qui ont répondu: je vais essayer de le faire aussi bien$\frac{sin(10\Omega/2)}{sin(\Omega/2)}= \frac{sin(10\Omega/2)}{sin(\Omega/2)}e^{-j\Omega(10-1)/2}e^{j\Omega(10-1)/2}=\Big[\frac{sin(10\Omega/2)}{sin(\Omega/2)}e^{-j\Omega(10-1)/2}\Big]e^{j9\Omega/2}$

Je dois profiter de la propriété: $\Big[\frac{sin(10\Omega/2)}{sin(\Omega/2)}e^{-j\Omega(10-1)/2}\Big]e^{j9\Omega/2} \rightarrow 2\pi F^{-1}{\Big[\frac{sin(10\Omega/2)}{sin(\Omega/2)}e^{-j\Omega(10-1)/2}\Big]} * F^{-1}[e^{j9\Omega/2}]$
Le résultat est :
$F^{-1}[e^{j9\Omega/2}] =$ $\frac{1}{2\pi}int_{\pi}^{\pi}e^{j9\Omega/2}e^{j\Omega n}d\Omega = \frac{1}{2\pi}\frac{e^{j\Omega(9/2 +n)}}{j(9/2+n)}\Big|_{-\pi}^{\pi}=\frac{4(-1)^n}{2\pi(n+9)}$ ( je pense)

et $F^{-1}[e^{j9\Omega/2}]=1$ pour $n \in [0,9]$et 0 partout ailleurs.
Nous devons maintenant calculer la convolution de ces 2:
le résultat ne doit être non nul que lorsque$n \in [0,9]$ donc:
$F^{-1}\Big[\Big[\frac{sin(10\Omega/2)}{sin(\Omega/2)}\Big]e^{-j\Omega(10-1)/2}\Big] = \begin{cases} \frac{4(-1)^n}{(n+9)} & n \in [0,9] \\ 0 & else \end{cases}$

Réponses

2 LaurentDuval Dec 06 2020 at 06:13

Il me semble que cet exercice est destiné à combiner les propriétés de base du DTFT (rassemblées ici: Tableau des propriétés DTFT ). Matt a décrit la propriété produit / convolution. Vous obtenez également la modulation time-shift / complexe. Je soupçonne (je pensais ne pas avoir fait les calculs) que le problème avec le facteur$10$ pourrait être abordé avec un changement de variable: $10\Omega = 5\times (2\Omega)$, et l'utilisation de la propriété de mise à l'échelle temporelle (expansion) (voir Mise à l'échelle temporelle des séquences à temps discret et DTFT ):

$$ S(c\Omega) \Longleftrightarrow \left\{ \begin{array}{ll} x[n/c] \textrm{ if } n/c \textrm{ is an integer } \\ 0 \textrm{ otherwise.} \end{array} \right.$$

D'autres indices s'articulent autour des noyaux de Dirichlet :

$$D_N(x) =\frac{\sin\left(\left(N +1/2\right) x \right)}{\sin(x/2)}$$

Ils sont aussi appelés asinc ou psinc ( crénelage ou périodique sinus cardinal ou sinc) et liés aux fenêtres discrètes de soutien fini. Si$*$ est le signe de Convolution, la résolution peut utiliser les propriétés produit / convolution de Fourier.

Et plus généralement (en bas de page sur les noyaux Dirichlet ), vous avez l'identité:

$$\sum_{n=0}^{N-1} e^{jn\Omega} = e^{j(N-1)\Omega/2}\frac{\sin(N \, \Omega/2)}{\sin(\Omega/2)}\,,$$

qui relie la DTFT d'une fenêtre de temps discrète $w_{[0,N-1]}$ (à partir de l'index $n=0$ à $n=N-1$) aux rapports des sinus avec un terme de correction de phase. Vous pouvez vérifier les détails à Transformée de Fourier en temps discret d'une fonction de fenêtre .

2 MattL. Dec 06 2020 at 19:32

Toujours en temps discret, nous avons la correspondance entre la multiplication dans un domaine et la convolution dans l'autre domaine:

$$x[n]y[n]\Longleftrightarrow \frac{1}{2\pi}X(e^{j\omega})\star Y(e^{j\omega})\tag{1}$$

où la convolution dans le domaine fréquentiel est définie par

$$X(e^{j\omega})\star Y(e^{j\omega})=\int_{-\pi}^{\pi}X\big(e^{j\theta}\big)Y\big(e^{j(\omega-\theta)}\big)d\theta\tag{2}$$

Le DTFT

$$H_N(e^{j\omega})=\frac{\sin\left(\frac{N\omega} {2}\right)}{\sin\left(\frac{\omega}{2}\right)},\qquad N\textrm{ odd}\tag{3}$$

correspond à une séquence temporelle très simple. Je suis sûr que vous pouvez le prendre d'ici.