IMO 2003 / G1: montrer que $PQ=QR$ si et seulement si les bissectrices de $\angle ABC$ et $\angle ADC$ sont concomitants avec $AC$.

Question

Laisser $ABCD$être un quadrilatère cyclique. Laisser$P$, $Q$, $R$ être les pieds des perpendiculaires de $D$ aux lignes $BC$, $CA$, $AB$, respectivement. Montre CA$PQ=QR$ si et seulement si les bissectrices de $\angle ABC$ et $\angle ADC$ sont concomitants avec $AC$.

Voici le diagramme:

Je veux utiliser la géo projective.

Mes progrès : il est bien connu que$P,Q,R$ sont colinéaires [ligne simson]

Maintenant, voici un lemme.

Lemme : Étant donné un quad cyclique$ABCD$, les bissectrices $\angle ABC$ et $\angle ADC$ sont concomitants avec $AC$ si et seulement si $ABCD$ est harmonique.

Preuve : si$ABCD$ est harmonique, alors $(A,C;B,D)=-1 \implies \frac {BA}{BC}=\frac {DA}{DC} $ , en appliquant maintenant le théorème de la bissectrice de l'angle, nous avons terminé.

Nous pouvons revenir en arrière pour prouver l'autre sens.

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Ainsi, la question reformulée est:

Laisser $ABCD$être un quadrilatère cyclique. Laisser$P$, $Q$, $R$ être les pieds des perpendiculaires de $D$ aux lignes $BC$, $CA$, $AB$, respectivement. Montre CA$Q$ est le milieu de $PR$ si et seulement si $ABCD$ est harmonique:

Maintenant, depuis qu'on me demande d'utiliser Projective geo, je prévois de montrer $(P,R;Q,P_{\infty})=-1$. Maintenant, je peux avoir$P_{\infty}$quand je considère une ligne parallèle à la ligne simson mais que je ne peux pas continuer sur quelle ligne. J'ai pris une ligne parallèle à$PR$ à travers $D$, mais pas en mesure de continuer.

Answer 1

Étendre $DQ$ rencontrer le cercle à $X$Ensuite, BX serait parallèle à la ligne simson comme mentionné dans le commentaire.

Si partie: maintenant, laissez $BX$ rencontrer $AC$ à $Y$.Prendre la perspective à $B$ en ligne $AC$ montrer que $(Y,Q,A,C)$ harmonique.Maintenant, prenez la perspective $X$ sur le cercle pour montrer que $ABCD$est harmonique. L'autre direction peut être prouvée de la même manière.