Incorporation de$\sqrt{|i-j|}$distance dans$(\mathbb{R}^n,\lVert \cdot\rVert_2)$

Question

Considérez l'espace métrique$(X=\{1,\ldots,n\},d)$tel que:

$$d(i,j)=\sqrt{|i-j|}$$

Boîte$(X,d)$être intégré isométriquement dans$(\mathbb{R}^n,\lVert \cdot\rVert_2)$? Si tel est le cas, pouvons-nous trouver une isométrie naturelle$\phi:X\to \mathbb{R}^n$?

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Pour ajouter un peu de contexte, je considère la marche aléatoire :

$$S_n=\sum_{i=1}^n X_i$$

où le$X_i$sont des gaussiennes standard indépendantes.$S=(S_1,\ldots,S_n)$est normalement distribué (car ses projections le long de chaque direction le sont aussi), il devrait donc exister$a_1,\ldots,a_n\in\mathbb{R}^n$tel que:

$$S\equiv (\langle a_1,g\rangle,\ldots,\langle a_n,g\rangle)$$

où$g$est un$n$-norme dimensionnelle gaussienne. Mais il s'avère :$$|i-j|=\mathbb{E}(S_i-S_j)^2=\lVert a_i-a_j\rVert^2$$

ce qui implique l'existence de l'encastrement. Je me demandais s'il existait une preuve explicite de cela (sûrement, il doit y en avoir !).

Answer 1

Voici une telle intégration : définir$$ \phi(j) = (\overbrace{1,\dots,1}^j,0,\cdots,0). $$