Inégalité différentielle concernant la comparaison de volume
Laisser $(M,g)$ être un complet $n$-variété riemannienne dimensionnelle et soit $p \in M$. Considérer$(t,\Theta)$ , les coordonnées sphériques géodésiques autour de $p$, où $t \in (0,\text{conj}_p(\Theta))$ et $\Theta$ est un vecteur unitaire dans $T_pM$. Laisser$A_p(t,\Theta)$être la densité de la mesure de volume dans ces coordonnées, c'est-à-dire \ begin {équation *} d \ nom_opérateur {Vol} = A_p (t, \ Theta) dt d \ Theta \ end {équation *} Un théorème bien connu des états de Gromov que si$\operatorname{Ric}(M) \geqslant (n-1)\kappa$, alors la carte \ begin {équation} t \ mapsto \ frac {{A} _p (t, \ Theta)} {sn ^ {n-1} _ {\ kappa} (t)} \ end {équation} est non -augmentation de$t$. Comme d'habitude,$sn_{\kappa}$est donné par \ begin {align *} sn _ {\ kappa} (t) = \ begin {cases} \ frac {\ sin {\ sqrt {k} t}} {\ sqrt {k}} & k> 0 \\ t & k = 0 \\ \ frac {\ sinh {\ sqrt {-k} t}} {\ sqrt {-k}} & k <0 \ end {cases} \ end {align *} Maintenant, je voudrais prouver un résultat similaire lorsque la courbure de section$M$est délimité par le haut. Autrement dit, si$ \text{sec}(M) \leqslant \kappa$, puis
\ begin {équation *} \ frac {d ^ 2} {dt ^ 2} \ left (\ frac {A_p (t, \ Theta)} {sn ^ {n-2} _ {\ kappa} (t)} \ droite) + \ kappa \ gauche (\ frac {A_p (t, \ Theta)} {sn ^ {n-2} _ {\ kappa} (t)} \ droite) \ geqslant 0 \ end {équation *} I ' J'essaye d'imiter l'argument donné par Gromov, laissant$\varphi(t) = A_p(t,\Theta)^{\frac{1}{n-2}}$ et calculer ça $(\log \varphi(t))' = \frac{1}{n-2}\text{tr}(\text{II}(t))$, où $\text{II}(t)$ est la deuxième forme fondamentale de $\partial B(p,t)$. Mais puisque nous ne prouvons pas une déclaration sur la monotonie, je ne sais pas comment je peux me débarrasser du pouvoir$(n-2)$. Différencier une telle expression semble directement intimidant et fastidieux, et je crois qu'il y a un raccourci vers le problème car il est très similaire à l'estimation de la norme des champs de Jacobi. Tout aperçu du problème sera apprécié.
$\textbf{Update}$: L'autre jour, je pensais avoir une solution, mais après l'avoir revérifiée, je ne pense pas que cela fonctionne. Voici ce que j'ai fait: laissez$$\varphi(t) = \frac{A_p(t,\Theta)}{sn^{n-2}_{\kappa}(t)}$$ on peut utiliser l'astuce du calcul $\varphi'(t) = (\log{\varphi(t)})'\varphi(t) $pour calculer que \ begin {align *} \ varphi '(t) & = (\ log \ varphi (t))' \ varphi (t) \\ & = (\ log A_ {p} (t, \ Theta) - (n-2) \ log sn _ {\ kappa} (t)) '\ varphi (t) \\ & = [\ text {tr} (\ text {II} (t)) - (n-2) \ frac {sn '_ {\ kappa} (t)} {sn _ {\ kappa} (t)}] \ varphi (t) \ end {align *} et que \ begin {align *} \ varphi' '(t) & = ((\ log \ varphi (t)) '\ varphi (t))' \\ & = (\ log \ varphi (t)) '' \ varphi (t) + [(\ log \ varphi (t)) '] ^ 2 \ varphi (t) \\ & = \ {[\ text {tr} (\ text {II} (t)) - (n-2) \ frac {sn' _ {\ kappa} (t) } {sn _ {\ kappa} (t)}] '+ [\ text {tr} (\ text {II} (t)) - (n-2) \ frac {sn' _ {\ kappa} (t)} {sn _ {\ kappa} (t)}] ^ 2 \} \ varphi (t) \ end {align *} Notez que$\varphi(t)$ est non négatif lorsque $t$est petit, donc pour montrer que l'inégalité d'origine est vraie, il suffit de montrer que \ begin {equation *} [\ text {tr} (\ text {II} (t)) - (n-2) \ frac { sn '_ {\ kappa} (t)} {sn _ {\ kappa} (t)}]' + [\ text {tr} (\ text {II} (t)) - (n-2) \ frac {sn '_ {\ kappa} (t)} {sn _ {\ kappa} (t)}] ^ 2 + \ kappa \ geqslant 0 \ tag {$\star$} \ end {équation *}
Rappelons que la deuxième estimation de comparaison (cf. Peterson Page 145 Cor 2.4) indique que si la courbure de section est délimitée $\kappa$, alors chaque composant de la deuxième forme fondamentale peut être borné par le bas, c'est-à-dire \ begin {équation *} (\ text {II} (t)) _ {_ {2 \ leqslant \ alpha, \ beta \ leqslant n}} \ geqslant \ frac {\ text {sn} '_ {k} (t)} {\ text {sn} _ {k} (t)} \ end {equation *} ce qui nous donne \ begin {équation} \ text {tr } (\ text {II} (t)) \ geqslant (n-1) \ frac {\ text {sn} '_ {K} (t)} {\ text {sn} _ {K} (t)} \ marque{$\star \star$} \ end {équation} et \ begin {équation *} \ text {tr} (\ text {II} (t)) - (n-2) \ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t )} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)} \ geqslant \ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t )} \ end {equation *} Je pensais rebrancher cette expression$\star$résoudra le problème, puisque \ begin {équation *} (\ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)})' + ( \ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)}) ^ 2 + \ kappa = 0 \ end {equation *} Mais j'ai fait une erreur fatale en déclarant que$f \geqslant g$ implique $f' \geqslant g'$! Il semble que je suis de retour à la case départ, même si j'ai une expression relativement agréable. Toute perspicacité ou aide serait appréciée.
Réponses
Mon professeur m'a donc donné une idée de la façon de résoudre ce problème. Après avoir obtenu \ begin {équation *} \ underbrace {[\ text {tr} (\ text {II} (t)) - (n-2) \ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t )} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)}] '} _ {\ text {Part A}} + \ underbrace {[\ text {tr} (\ text {II} (t)) - (n-2) \ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)}] ^ 2} _ {\ text {Partie B} } + \ kappa \ geqslant 0 \ tag {$\star$} \ end {equation *} Nous pouvons utiliser l'équation de Riccati pour réécrire \ begin {align *} \ text {Part A} = & [\ text {tr} (\ text {II} (t)) - (n-2) \ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)}]' \\ \ geqslant & - \ text {tr} (\ text { II} (t) ^ 2) - (n-1) \ kappa - (n-2) [- (\ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)}) ^ {2} - \ kappa] \\ = & - \ text {tr} (\ text {II} (t) ^ 2) + (n-2) (\ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)}) ^ {2} - \ kappa \ end {align *} Et après l'expansion$\text{Part B}$, $\star$devient \ begin {align *} & \ underbrace {[\ text {tr} (\ text {II} (t)) - (n-2) \ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t) } {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)}] '} _ {\ text {Partie A}} + \ underbrace {[\ text {tr} (\ text {II} (t)) - ( n-2) \ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)}] ^ 2} _ {\ text {Partie B}} + \ kappa \\ \ geqslant & \ text {tr} (\ text {II} (t)) ^ 2- \ text {tr} (\ text {II} (t) ^ 2) -2 (n-2) \ text {tr} (\ text {II} (t)) \ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)}' + (n-1) (n-2) (\ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)}) ^ 2 \\ \ geqslant & \ text {tr} (\ text {II} (t)) ^ 2- \ text {tr} (\ text {II} (t) ^ 2) -2 (n-2) \ text {tr} ( \ text {II} (t)) \ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)}' + (\ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)}) ^ 2 \\ = & \ sum_ {1, i \ neq j, n-1} \ lambda_ {i} (t) \ lambda_j (t) - [\ lambda_ {i} (t) + \ lambda_ {j} (t)] \ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)} '+ (\ frac {\ text {sn}' _ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t) }) ^ 2 \\ = & \ sum_ {1, i \ neq j, n-1} (\ lambda_i (t) - \ frac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)} ') (\ lambda_j (t) - \ f rac {\ text {sn} '_ {\ kappa} (t)} {\ text {sn} _ {\ kappa} (t)}') \\ \ geqslant & 0 \ end {align *} où$\lambda_{i}(t), i=1,\dots,n-1$ sont les valeurs propres de $\text{II}(t)$. La dernière inégalité découle de la comparaison hessienne, qui est indiquée dans le corollaire 2.4 du livre de Petersen.