Inégalité pour la fonction de$\arctan(x)$

Question

je veux montrer que$$f(x) = \frac{1}{\arctan(x)} - \frac{1}{x} $$augmente sur$(0, \infty)$. Je peux le voir clairement en le traçant, mais j'ai du mal à l'écrire rigoureusement. Il suffit évidemment de montrer que sa dérivée est toujours positive dans cette plage (ce qui ressort également de son tracé). Nous avons$$f'(x) = \frac{(1+x^2)\arctan^2(x) -x^2}{x^2(1+x^2)\arctan^2(x)}$$donc encore une fois il suffit de montrer que$$g(x) \equiv (1+x^2)\arctan^2(x) -x^2 \ge 0 \quad \forall x >0$$(et, encore une fois, cela ressort clairement du tracé). J'ai sauté dans le terrier du lapin en prenant le dérivé de$g$aussi (puisque c'est$0$à$x = 0$donc il suffirait encore de montrer que$g' \ge 0$) et cela ne donne rien d'utile immédiatement pour moi. S'il vous plait aidez si vous le pouvez

Answer 1

$${1\over 1+x^2}\ge {1-x^2\over (1+x^2)^2}\quad \forall x >0$$qui est dérivé de$${\arctan(x)}\ge {x\over 1+x^2}\quad \forall x >0$$ $${2\arctan(x)\over 1+x^2}\ge {2x\over (1+x^2)^2}\quad \forall x >0$$qui est dérivé de$$\arctan^2(x) \ge {x^2\over 1+x^2}\quad \forall x >0$$

$$(1+x^2)\arctan^2(x) -x^2 \ge 0 \quad \forall x >0$$

Answer 2

Considérez plutôt$ \displaystyle g(x) = \arctan{x} - \frac{x^2}{1 + x^2}$. Notez que$g(0) = 0$, il suffit donc de montrer que$g'(x) = 0$pour$x \ge 0$.

À présent,$\displaystyle g'(x) = \frac{2[(1 + x^2)\arctan{x} - x]}{(1 + x^2)^2}$. Il suffit donc de considérer$$h(x) = \arctan{x} - \frac{x}{(1 + x^2)},$$et montrer que$h(x) \ge 0$pour$x \ge 0$. Mais$h(0) = 0$, et$$h'(x) = \frac{2x^2}{(1 + x^2)^2} \ge 0$$pour tous$x$. Ceci achève la preuve.