Intégration du couple pour une boucle de courant circulaire dans un champ magnétique [fermé]

Aug 16 2020

J'essaie de dériver la formule du couple sur une boucle de courant circulaire à l'intérieur d'un champ magnétique. Je sais que la formule est:

$\tau = IAB\sin{\theta}$

Où I est le courant, B est le champ magnétique et A est la zone.

Ma tentative jusqu'à présent:

$d\vec{F} = I\,d\vec{s}\times \vec{B} = IB\,ds\cdot\sin{\alpha}$

Maintenant, si la formule du couple est: $\tau=bF\sin{\theta}$, et $b = r\sin{\alpha}$, puis

$d\tau = r\cdot sin{\alpha}\cdot IB\sin{\theta}ds\cdot \sin{\alpha} = rIBsin{\theta}\cdot\sin^2{\alpha}\,ds$

Au final, si je prends l'intégrale de cette dernière équation, je ne peux pas comprendre exactement comment intégrer $\sin{\alpha}^2\,ds$.

Je suppose que mon malentendu sous-jacent réside ici: je peux dire quelle est l'intégrale de $d\vec{s}\times \vec{B}$sera, puisque je connais le diamètre du cercle. Cependant, je pense qu'il n'y a aucun moyen d'exprimer$\sin{\alpha}$ par rapport à $ds$.

Est-ce que je me trompe? Merci

Réponses

1 SarGe Aug 16 2020 at 18:28

Vous n'avez pas utilisé de notations vectorielles, cela semble donc assez terrible. De plus, vous avez utilisé$M$ pour le couple (il devrait être $\tau$) plutôt que pour le moment magnétique (qui sont des symboles généralement acceptés).

Preuve:

Une boucle circulaire se trouve dans $x-y$ avion avec raduis $r$ et centrer à l'origine $O$. Il transporte un courant constant dans le sens anti-horaire. Il y a un champ magnétique uniforme$\vec B$ dirigé le long du positif $x$-axe.

Considérez un élément $d\vec s$ sur l'anneau à un angle $\theta$ sous-tendre un angle $d\theta$à l'origine. Le couple sur cet élément est donné par

$$\begin{align}d\tau&=\vec r\times d\vec F=\vec r\times(Id\vec s\times\vec B)\\ &=I(r\cos\theta\ \hat i+r\sin\theta\ \hat j)\times\bigg((-rd\theta\sin\theta\ \hat i+rd\theta\cos\theta\ \hat j)\times(B_0\ \hat i)\bigg)\\ \tau&=I\bigg(\int_0^{2\pi}B_0r^2\cos^2\theta\ d\theta\ (\hat j)-\int_0^{2\pi}B_0r^2\sin\theta\cos\theta\ d\theta\ (\hat i)\bigg)\\ &=I(\pi r^2)B_0\ \hat j=(I\pi r^2\ \hat k)(B_0\ \hat i)\\ &=\vec M\times\vec B \end{align}$$


Remarque: j'ai ignoré la partie calcul. En outre, vous pouvez également prendre$\vec B=B_x\ \hat i+B_y\ \hat j +B_z\ \hat k$, J'ai pris seulement $x$-composant pour la simplicité. Le résultat sera le même. Même chose avec la forme du conducteur, peu importe qu'il soit carré ou circulaire.

Genoma Aug 16 2020 at 15:28

J'ai résolu ce problème en réalisant que ds est en fait $2r\cdot sin(d\alpha/2)\cdot sin(\alpha)$ par la formule de l'accord de longueur.

Bref, en écrivant réellement $d\vec{s}\times \vec{B}$ en terme de $\alpha$.