Intégration du couple pour une boucle de courant circulaire dans un champ magnétique [fermé]
J'essaie de dériver la formule du couple sur une boucle de courant circulaire à l'intérieur d'un champ magnétique. Je sais que la formule est:
$\tau = IAB\sin{\theta}$
Où I est le courant, B est le champ magnétique et A est la zone.
Ma tentative jusqu'à présent:
$d\vec{F} = I\,d\vec{s}\times \vec{B} = IB\,ds\cdot\sin{\alpha}$
Maintenant, si la formule du couple est: $\tau=bF\sin{\theta}$, et $b = r\sin{\alpha}$, puis
$d\tau = r\cdot sin{\alpha}\cdot IB\sin{\theta}ds\cdot \sin{\alpha} = rIBsin{\theta}\cdot\sin^2{\alpha}\,ds$
Au final, si je prends l'intégrale de cette dernière équation, je ne peux pas comprendre exactement comment intégrer $\sin{\alpha}^2\,ds$.
Je suppose que mon malentendu sous-jacent réside ici: je peux dire quelle est l'intégrale de $d\vec{s}\times \vec{B}$sera, puisque je connais le diamètre du cercle. Cependant, je pense qu'il n'y a aucun moyen d'exprimer$\sin{\alpha}$ par rapport à $ds$.
Est-ce que je me trompe? Merci
Réponses
Vous n'avez pas utilisé de notations vectorielles, cela semble donc assez terrible. De plus, vous avez utilisé$M$ pour le couple (il devrait être $\tau$) plutôt que pour le moment magnétique (qui sont des symboles généralement acceptés).
Preuve:
Une boucle circulaire se trouve dans $x-y$ avion avec raduis $r$ et centrer à l'origine $O$. Il transporte un courant constant dans le sens anti-horaire. Il y a un champ magnétique uniforme$\vec B$ dirigé le long du positif $x$-axe.
Considérez un élément $d\vec s$ sur l'anneau à un angle $\theta$ sous-tendre un angle $d\theta$à l'origine. Le couple sur cet élément est donné par
$$\begin{align}d\tau&=\vec r\times d\vec F=\vec r\times(Id\vec s\times\vec B)\\ &=I(r\cos\theta\ \hat i+r\sin\theta\ \hat j)\times\bigg((-rd\theta\sin\theta\ \hat i+rd\theta\cos\theta\ \hat j)\times(B_0\ \hat i)\bigg)\\ \tau&=I\bigg(\int_0^{2\pi}B_0r^2\cos^2\theta\ d\theta\ (\hat j)-\int_0^{2\pi}B_0r^2\sin\theta\cos\theta\ d\theta\ (\hat i)\bigg)\\ &=I(\pi r^2)B_0\ \hat j=(I\pi r^2\ \hat k)(B_0\ \hat i)\\ &=\vec M\times\vec B \end{align}$$
Remarque: j'ai ignoré la partie calcul. En outre, vous pouvez également prendre$\vec B=B_x\ \hat i+B_y\ \hat j +B_z\ \hat k$, J'ai pris seulement $x$-composant pour la simplicité. Le résultat sera le même. Même chose avec la forme du conducteur, peu importe qu'il soit carré ou circulaire.
J'ai résolu ce problème en réalisant que ds est en fait $2r\cdot sin(d\alpha/2)\cdot sin(\alpha)$ par la formule de l'accord de longueur.
Bref, en écrivant réellement $d\vec{s}\times \vec{B}$ en terme de $\alpha$.