Intégré de manière compacte dans $L^p(0,1)$ mais n'est pas un sous-espace de $C^0[0,1]$
Par le théorème de Rellich-Kondrachov, on sait que l'inclusion $H^1(0,1) \subset L^2(0,1)$ est compact.
D'autre part, par les inégalités de Sobolev, on a aussi $H^1(0,1) \subset C^0[0,1]$ (en fait, même $C^{0,\frac{1}{2}}$ dans ce cas unidimensionnel, en utilisant le théorème fondamental du calcul et certains arguments de Cauchy-Schwartz).
Ma question est de savoir s'il existe un "sous-espace intermédiaire" dans le sens suivant.
À savoir, existe-t-il un espace Hilbert $H$ qui est intégré de manière compacte dans $L^p(0,1)$ pour certains $p\geq 1$, et qui n'est pas un sous-espace de $C^0[0,1]$?
Réponses
Oui, de tels espaces de Hilbert existent et ils sont un cas particulier d' espaces fractionnaires de Sobolev . Pour$\alpha\in(0,1/2)$ nous avons $H^\alpha(0,1)\subset L^2(0,1)$ par définition, et on peut montrer que la fonction step qui est $1$ sur $(1/2,1)$ et $0$ d'autre est dedans $H^\alpha(0,1)$. Puisque cette fonction n'est pas continue,$H^\alpha(0,1)$ ne s'intègre pas dans $C^0[0,1]$.
Voir aussi Preuve que la fonction caractéristique d'un ensemble ouvert borné est$H^{\alpha}$ iff $\alpha < \frac{1}{2}$et à quels espaces fractionnaires de Sobolev appartient la fonction step? (Norme Sobolev-Slobodeckij de la fonction d'étape) pour plus de détails.
On sait également que $H^\alpha(0,1)$ s'intègre de manière compacte dans $L^2(0,1)$ pour $\alpha\in (0,1/2)$. Cela découle du théorème 7.1 de ce pdf .