Irréductibilité de certains polynômes

Question

Laisser$n \geq 2$et nous travaillons sur les rationnels.

Question 0 : Est-ce qu'une factorisation en irréductibles d'un polynôme de la forme$p_{n,i}(x)=x^n+x^i+1$connu, où$0<i<n$?

Question 1 : Est-il vrai que le$n$telle que tout$p_{n,i}(x)$sont irréductibles est donnée par la suitehttps://oeis.org/A038754? Ceci est vrai pour$n \leq 55$.

Question 2 : Au cas où$p_{n,i}(x)$est irréductible, quel est son groupe de Galois ?

Answer 1

Concernant la Question 1 :

Laisser$n=3^rps$, où$p$est premier,$p\ge5$, et$s$n'est pas un multiple de$3$. Laisser$m=3^rt$où$ps>t>0$et$ps+t$est un multiple de$3$. Laisser$\zeta=e^{2\pi i/3^{r+1}}$. Puis$\zeta^n+\zeta^m+1$est la somme des trois racines cubiques de l'unité, donc c'est zéro, donc$x^n+x^m+1$est divisible par le polynôme minimal pour$\zeta$. Ce polynôme est de degré$2\times3^r$, qui est inférieur à$n$, alors$x^n+x^m+1$est réductible.

Maintenant, laisse$n=4t$pour certains$t$. Puis$$x^n+x^{n/2}+1=x^{4t}+x^{2t}+1=(x^{2t}+x^t+1)(x^{2t}-x^t+1)$$alors$x^n+x^{n/2}+1$est réductible.

Cela ne laisse que$n$de la forme$3^r$et$2\times3^r$à envisager. Supposer$n$est de l'une de ces formes, et considérons$x^n+x^m+1$,$0<m<n$. À ce stade, nous devons apporter le grand résultat des articles cités sur mathoverflow.net/questions/56579/about-irreducible-trinomials . Ceci dit que$x^n+x^m+1$a au plus un facteur non cyclotomique, où par facteur cyclotomique j'entends un polynôme dont les zéros sont tous aux racines de l'unité. C'est-à-dire,$x^n+x^m+1$est soit$P(x)$ou$Q(x)$ou$P(x)Q(x)$, où$P(x)$est un facteur cyclotomique, et$Q(x)$est un facteur non cyclotomique irréductible. Si c'est$Q(x)$, alors nous avons terminé - nous avons prouvé qu'il est irréductible, comme demandé. Donc, nous supposons qu'il a un facteur cyclotomique$P(x)$, qui a une racine$\zeta$, qui est une racine de l'unité. Puis$\zeta^n+\zeta^m+1=0$, une somme nulle de trois racines de l'unité, qui ne peut être que la somme des trois racines cubiques de l'unité. De là, je veux conclure que nous devons avoir$n=2\times3^r$,$m=3^r$, et$x^n+x^m+1$est le polynôme minimal pour$\zeta$, donc irréductible, et nous avons terminé, mais je ne le vois pas pour le moment. J'essaierai de revenir pour finir ça dans un jour ou deux.