La formule d'intégration par pièces $\int f'g = - \int fg'$ est-il vrai pour les fonctions continues de variation limitée prises en charge de manière compacte?

Question

Suppose que $f:\mathbb R \to \mathbb C$ est une fonction continue de variation bornée avec prise en charge $[-T,T]$. Nous savons que$f$est différenciable presque partout. De plus, laissez$g \in C^\infty(\mathbb R)$être borné. La formule d'intégration par pièces$$ \int f'(x)g(x) \,dx = -\int f(x)g'(x) \, dx $$ est-ce vrai?

Answer 1

Laisser $T > 1$ et laissez $f = \chi_{[0,1]}$ être la fonction caractéristique de $[0,1]$. ensuite$$ \int_{-T}^T f g' = \int_0^1 g' = g(1) - g(0). $$ D'autre part, depuis $f' = 0$ ae, $$ \int_{-T}^T f' g = 0. $$

Si nous comprenons $f'$ en tant que dérivé valorisé par la mesure $Df$ d'une fonction BV, alors $Df = \delta_0 - \delta_{-1}$, et $$ \int_{-T}^T g\, Df = g(0) - g(1), $$ qui coïncide avec $-\int_{-T}^T f g'$.