La limite d'une séquence d'opérateurs linéaires continus dans la topologie des opérateurs faibles est-elle à nouveau un opérateur linéaire continu ?

Question

D'après le théorème de Banach-Steinhaus, nous savons que si $(A_n)_{n\in\mathbb N}\subseteq\mathfrak L(X,Y)$, où $X$ est un Banach et $Y$ un espace normé, converge dans la topologie de l'opérateur fort, alors sa limite dans la topologie de l'opérateur fort est à nouveau un opérateur linéaire borné de $X$ à $Y$.

Maintenant j'ai lu ça dans un espace Hilbert $H$ le résultat plus fort suivant est vrai : Si $(A_n)_{n\in\mathbb N}\subseteq\mathfrak L(H)$ converge dans la topologie de l'opérateur faible, alors sa limite dans la topologie de l'opérateur faible est à nouveau un opérateur linéaire borné sur $H$.

Pourquoi est-il important que $H$est un espace de Hilbert ? L'affirmation ne reste-t-elle pas vraie dans le cas considéré précédemment$(A_n)_{n\in\mathbb N}\subseteq\mathfrak L(X,Y)$, où $X$ est un Banach et $Y$ un espace normé ?

Si $E$ est un espace normé, on sait que $B\subseteq E$est bornée si et seulement si elle est faiblement bornée. Ainsi, une suite faiblement convergente est bornée par la norme.

Ne devrait-il pas suivre immédiatement que si $(A_n)_{n\in\mathbb N}\subseteq\mathfrak L(X,Y)$ est faiblement convergent, il est borné dans la topologie des opérateurs forts et donc borné dans la topologie des opérateurs uniformes par le théorème de Banach-Steinhaus ?

Answer 1

Je pense que ce que vous dites est vrai. Je n'y ai jamais pensé car j'ai toujours supposé que la limite des opérateurs faibles$A$ du $A_n's$ était toujours dans $A\in \mathfrak L(X,Y)$. J'écris l'argument juste pour nous convaincre. En effet, il suffit de supposer que$Y$ a une norme, pas nécessairement complète.

Alors, supposons que $A_n\overset{\text{wo}}{\to}A$ dans la topologie des opérateurs faibles où $A:X\to Y$est un opérateur linéaire, pas nécessairement borné. La convergence dans la topologie des opérateurs faibles est décrite par$h(A_n x)\to h(A x)$ pour chaque $x\in X$ et $h\in Y^*$. Cela implique que l'ensemble$\{A_n x: n\in \mathbb{N}\}$ est faiblement borné en $Y$, il est donc également borné en $Y$. Par le Banach-Steinhaus, il s'ensuit que$\sup_{n}||A_n||=M<\infty$. Maintenant pour$x\in X$ avec $||x||=1$ on a $$||Ax||=\max_{h\in Y^*,\, ||h||=1}|h(Ax)|$$ Alors, il y a quelques $||h||=1$ dans $Y^*$ tel que $||Ax||=|h(Ax)|$. En utilisant la convergence faible pour$A_nx$ on se retrouve avec \begin{align} ||Ax||&=|h(Ax)|\\ &=\lim_{n\to \infty}|h(A_nx)|\\ &\leq \underbrace{||h||}_{=1}\liminf_{n\to \infty}||A_n||\cdot \underbrace{||x||}_{=1} \end{align} D'où, $||Ax||\leq M$ pour chaque $||x||=1$ et donc, $||A||\leq M<\infty$.

Edit : (répondant au commentaire)

L'existence de telles $A$est plus délicat. Pour assurer une telle existence, nous avons besoin d'une autre hypothèse pour$Y$, puisqu'il y a un contre-exemple ici où$X=Y=c_0$. Le seul naturel auquel j'ai pu penser pendant que j'essayais de le prouver, c'est que$Y$doit être réflexif (de ne pas être un espace Banach nous sommes passés directement à la réflexivité :P). Dans le cas où$X=Y=H$ est un espace de Hilbert les choses étaient légèrement plus faciles puisque nous pouvons identifier $H^*$ avec $H$ et pas besoin de jouer avec les deuxièmes duels.

L'argument dans le cas où $Y$ est réflexif est le suivant :

Supposer que $\lim_{n}\langle A_n x, h \rangle$ existe pour chaque $x\in X$ et $h\in Y^*$. Pour fixe$x\in X$ laisser $f_x:Y^*\to \mathbb{R}$ Défini par $$\langle h, f_x\rangle =\lim_{n\to \infty}\langle A_n x, h\rangle$$ c'est facile de vérifier ça $f_x$est une fonctionnelle linéaire et par la discussion précédente, elle est également bornée. Sens,$f_x \in Y^{**}$. Par réflexivité, il y a$y_x\in Y$ tel que $\langle h, f_x\rangle =\langle y_x, h\rangle$ pour tous $h\in Y^*$. Maintenant, laisse$x\overset{A}{\longmapsto} y_x$. Maintenant, il est facile de vérifier que$A:X\to Y$est un opérateur linéaire. Par la discussion précédente, il est également limité.