La moyenne de l'échantillon et la variance de l'échantillon sont indépendantes, si $X_i$ n'est pas un iid.
Nous savons que si $X_i$ provient de la distribution normale iid $N(\mu,\sigma^2)$, puis la variance de l'échantillon ($S^2$) est indépendante de la moyenne de l'échantillon ($\bar{X}$). Mais maintenant, si$X_i$ n'est pas iid, plutôt, $X_i$ provient d'une distribution normale $N(\mu, \Sigma)$, où $$\Sigma = \sigma^2 \begin{bmatrix} 1 & \rho & \dots & \rho \\ \rho & 1 & \dots & \rho \\ \vdots \\ \rho & \rho & \dots & 1 \end{bmatrix}. $$ si la moyenne de l'échantillon et la variance de l'échantillon sont encore indépendantes? Comment pouvons-nous montrer cela?
Réponses
Supposer $X=(X_1,X_2,\ldots,X_n)^T$ a une distribution normale multivariée $N_n(\mu\mathbf1_n,\Sigma)$ où $\Sigma=\sigma^2\left[(1-\rho)I_n+\rho\mathbf1_n\mathbf1_n^T\right]$. Ici$\rho\in \left(-\frac1{n-1},1\right)$ et $\mathbf1_n$ est un vecteur colonne de tous.
Une façon de prouver l'indépendance de $\overline X=\frac1n\sum\limits_{i=1}^n X_i$ et $S^2=\frac1{n-1}\sum\limits_{i=1}^n (X_i-\overline X)^2$est à peu près la même chose que ce qui a été fait ici pour$\rho=0$ (le cas particulier où $X_i$sont iid $N(\mu,\sigma^2)$).
Voici un bref croquis de preuve:
Transformer $X\mapsto Y=AX$ où $A$ est un $n\times n$ matrice orthogonale donnée par
$$A= \begin{bmatrix}\frac1{\sqrt n} &\frac1{\sqrt n} & \frac1{\sqrt n}& \frac1{\sqrt n}& \cdots &\frac1{\sqrt n} \\ \frac1{\sqrt 2} & \frac{-1}{\sqrt 2} &0 & 0 & \cdots & 0 \\ \frac1{\sqrt 6} & \frac1{\sqrt 6} &\frac{-2}{\sqrt 6} &0 &\cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac1{\sqrt {n(n-1)}} & \frac1{\sqrt {n(n-1)}} & \frac1{\sqrt {n(n-1)}} & \frac1{\sqrt {n(n-1)}} & \cdots & \frac{-(n-1)}{\sqrt {n(n-1)}} \end{bmatrix}$$
ensuite $X\sim N_n(\mu\mathbf1_n,\Sigma)$ impliquerait $Y\sim N_n(\mu A\mathbf1_n,A\Sigma A^T)$.
Vérifier que $A\Sigma A^T$ se révèle être une matrice diagonale:
$$A\Sigma A^T=\sigma^2 \operatorname{diag}\left(1+(n-1)\rho,1-\rho,\ldots,1-\rho\right)$$
Donc si $Y=(Y_1,Y_2,\ldots,Y_n)^T$, puis $Y_i$sont indépendants normaux avec $Y_1=\sqrt n\overline X$ et $\sum\limits_{i=2}^n Y_i^2=(n-1)S^2$. Par conséquent concluez.
Cela vous donnerait également la distribution exacte de $\overline X$ et $S^2$ dans cette configuration.