La naturalité des projections canoniques ? [dupliquer]

Dec 14 2020

Le premier théorème d'isomorphisme (pour les groupes) stipule que$G/ \text{Ker} (\varphi) = \varphi(G)$. C'est ce qu'on appelle la projection canonique, mais aussi parfois la projection naturelle . Je me suis demandé si c'était parce que ces projections canoniques étaient en fait une transformation naturelle entre les foncteurs appropriés.

Réponses

1 Shiranai Dec 14 2020 at 09:34

Voici ce que j'ai essayé (pas une réponse complète à ma question)$\require{AMScd}$


Étant donné$G$et$\varphi: G \to \varphi(G)$. On essaie de construire un foncteur$F: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$, de sorte qu'il y a une transformation naturelle$\eta : \text{id} \to F$. Ici$\text{id}$est le foncteur identité et$\mathbb{C}$est la catégorie de tous les groupes. Pour alléger la notation laisser$N=Ker(\varphi)$, considérez également les deux propriétés suivantes comme un groupe$H$puis-je avoir:

$(1)$Il y a au moins un morphisme$\alpha: H \to G$tel que$\alpha(H) - N \not = \emptyset$, c'est-à-dire qu'il y a quelques$h \in H$tel que$\alpha(h) \not \in N$

$(2)$Il y a au moins un morphisme$\beta: G \to H$tel que$\beta(N) \not = 1$

Les groupes avec ces propriétés ont une partie de la structure de leur$\eta$-images déterminées par la condition de naturalité, et de plus ce sont les seuls groupes, de sorte qu'il y a une certaine restriction dans leur$\eta$-images. Pour les voir, prenez un groupe$K$ça n'a pas$(1)$ni$(2)$. Alors naturalité pour un morphisme$f: K \to G$est:

\begin{CD} H @>{f}>> G \\ @VVV @VVV \\ \eta H @>{\eta f}>> G/N ; \end{CD}

Si$f$est juste l'homomorphisme trivial alors cela force juste$\eta f$être un homomorphisme trivial donc$\eta H$est "gratuit", ce qui signifie qu'il n'y a aucune restriction sur ce$\eta H$doit être dans ce carré commutatif. Pour voir qu'il est "libre" dans tout carré commutatif commutatif où$H$est le domaine et$G$est le codomaine, par manque de propriété$1$, on a ça$f(H) - N = \emptyset$, donc le carré commutatif ci-dessus ressemble à :

\begin{CD} h @>{f}>> f(h) \\ @VVV @VVV \\ \eta h @>{\eta f}>> 1 ; \end{CD}

Encore une fois, cela force$\eta f$être l'homomorphisme trivial tel que$\eta H$est libre. Le dernier cas, où$H$est le domaine et il existe un morphisme à tout groupe$K$est similaire. De même pour quand$H$est le codomaine.


Cela montre que pour que la transformation naturelle existe, il suffit de vérifier qu'elle existe pour les groupes satisfaisant$(1)$ou$(2)$. Cependant ces doutes subsistent :

  1. Existe-t-il réellement un bien défini$\eta$sur ces groupes de sorte que la condition de naturalité soit vérifiée ?
  2. Si oui à ce qui précède, la condition de naturalité est-elle suffisante pour déterminer de manière unique$\eta$images de ces groupes?

Voici quelques dernières réflexions :

  • Fait intéressant si cela$\eta$existe réellement, alors tout homomorphisme de groupe est naturel, puisque pour$f: A \to B$Je peux d'abord obtenir une transformation naturelle telle que$A \to A/\text{Ker}(f)$est une composante de$\eta$, mais par le premier théorème d'isomorphisme c'est exactement la même chose que$A \to B$.
  • Le genre de construction que j'ai essayé de faire me rappelle les extensions de terrain, je ne connais pas bien ce sujet mais je pense qu'il y a plus qu'un vague lien.