La preuve par Atiyah de l'espace des modules des connexions YM irréductibles SD

Dec 16 2020

Dans l'article "Self-duality in Four-Dimension Riemannian Geometry" (1978), Atiyah, Hitchin et Singer présentent une preuve que l'espace des connexions Yang-Mills auto-duales irréductibles est une variété de Hausdorff, et si ce n'est pas le vide set, alors la dimension est donnée par $$p_1(\text{Ad}(P))-\frac{1}{2}\dim G(\chi(M)-\tau(M))$$ Où $\chi(M)$ est la caractéristique d'Euler et $\tau(M)$ la signature.

EDIT: Il s'avère que le papier original contenait une erreur / faute de frappe. Cela devrait en fait être$$2p_1(\text{Ad}(P))-\frac{1}{2}\dim G(\chi(M)-\tau(M))$$ Fin de l'édition.

Bien que j'aimerais pouvoir comprendre l'article complet, je ne suis pas encore en mesure de le faire, j'essaie seulement de comprendre le calcul de cette dimension, car je suis intéressé par certaines applications de l'Atiyah- Théorème d'index du chanteur.
Pour calculer cette dimension, ce qui suit est utilisé dans l'article: Soit$D:\Gamma(V_-\otimes E)\to\Gamma(V_+\otimes E)$ être l'opérateur de Dirac pour un faisceau de spineurs avec des valeurs dans un faisceau auxiliaire $E$. Par le théorème d'index,$$\text{ind}(D)=\int_M\text{ch}(E)\widehat{A}(M)$$ Dans la dimension quatre, nous avons $\widehat{A}(M)=1-\frac{1}{24}p_1(M)$(mais où est-ce utilisé?). Pour la preuve, nous prenons$E=V_-\otimes\text{Ad}(P)$. Puis$\text{ch}(E)=\text{ch}(\text{Ad}(P))\text{ch}(V_-)$. Jusqu'ici tout va bien. Je perds la trace dans le calcul suivant:$$\text{ind}(D)=\int_M\text{ch}(\text{Ad}(P))\text{ch}(V_-)\widehat{A}(M)\\ \color{red}{=p_1(\text{Ad}(P))+\dim G(\text{ind}(D'))}=\\ p_1(\text{Ad}(P))-\frac{1}{2}\dim G(\chi-\tau)$$ Où $D':\Gamma(V_+\otimes V_-)\to\Gamma(V_-\otimes V_-)$. J'ai essayé de trouver un résultat qui explique la partie de couleur rouge de l'équation, parce que cette étape semble complètement non triviale, et malgré cela, elle n'est pas du tout élaborée dans le document, et je ne suis pas en mesure de trouver toutes les sources qui expliquent cette étape. Dans l' opérateur Index of Dirac et Chern character of symetric product twisting bundle, la réponse acceptée semble donner une réponse qui explique en partie comment ce résultat est obtenu, dans un cas très particulier. Cependant, je ne suis pas très expérimenté dans ce domaine et je ne sais pas comment généraliser le résultat à un principe arbitraire$G$-empaqueter. Je cherche une explication de ce qui précède, si quelqu'un est en mesure de fournir sa propre réponse ou une référence. L'un ou l'autre serait grandement apprécié.

Réponses

14 LiviuNicolaescu Dec 16 2020 at 05:29

J'espère que je m'en souviens bien. Mon conseiller m'a expliqué ce calcul, je ne veux même pas penser à combien d'années.

Le complexe de déformation de l'équation SD est $\DeclareMathOperator{\Ad}{Ad}$

$$L=d_A^-\oplus d_A^*:\Omega^1\big(\, \Ad(P)\,\big)\to\Omega^2_-\big(\; \Ad(P)\;\big)\oplus \Omega^0\big(\;\Ad(P)\;\big). $$

La dimension de l'espace des modules des connexions auto-duelles est l'indice de cet opérateur. $\DeclareMathOperator{\ind}{ind}$ $\DeclareMathOperator{\ch}{ch}$ $\DeclareMathOperator{\hA}{\widehat{A}}$Cet opérateur est obtenu par torsion avec $\Ad(P)$ l'opérateur

$$ D=d^-+d^*:\Omega^1(M)\to \Omega^2_-(M)\oplus \Omega^0(M) $$

C'est l'opérateur $D: \Gamma(V_+\oplus V_-)\to \Gamma(V_-\oplus V_-)$ dans le document que vous avez mentionné.

La théorie de l'indice Atiyah-Singer montre que $\ind L$ est

$$\ind L= \int_M \big[\; \ch(\Ad(P)) \hA(X)\ch(V_-)\;\big]_4, $$

où $[--]_4$ désigne le degré $4$ partie d'une forme différentielle non homogène.

Nous en déduisons

$$\ch(\Ad(P))=\dim G +\ch_2(\Ad(P))+\cdots = \dim G+p_1(\Ad(P))+\cdots, $$

$$\ind L= \int_M \big(\; p_1(\Ad(P))+(\dim G)\rho_D\;\big) $$

où le diplôme $4$ de $\rho_D= [\hA(X)\ch(V_-)]_4$ est la densité d'indice de $D$ apparaissant dans le théorème d'index Atiyah-Singer $$ \ind D=\int_M \rho_D. $$