La structure du sous-distributeur intégré.
Si $M$ est une variété et $S$est une sous-variété intégrée, je voulais comprendre avec quelle structure nous devrions doter la sous-variété intégrée. Alors je lisais wikipedia . La structure qu'ils définissent n'est pas exactement la première qui m'est venue à l'esprit. Intuitivement j'aurais choisi la structure$\{(U\cap S, \phi_{U\cap S}) : (U,\phi) \text{ is a chart for }$M$\}$. Quelqu'un peut-il me donner un exemple simple pourquoi cela ne fonctionne pas?
Réponses
Vous ne pouvez pas (en général) obtenir un atlas pour une sous-variété (intégrée) $S \subset M$ en restreignant simplement un atlas sur la variété ambiante $M$. En effet, les variétés (topologiques) sont constituées de plus que de pures données topologiques (ce sont plus que de simples sous-espaces); ils nécessitent les données d'une topologie et (au moins) les données de graphiques. Étant donné que les graphiques impliquent des fonctions avec des propriétés spécifiques, ils ne sont pas hérités de la même manière que les ensembles ouverts. Rappelons qu'un atlas de cartes sur$S$ est: pour chaque point $p \in S$ un sous-ensemble ouvert $U \ni p$ équipé d'un homéomorphisme à un sous-ensemble ouvert de certains $\mathbb{R}^k$.
Bien sûr, le contre-exemple typique pour diriger l'héritage de graphiques vers des sous-espaces topologiques est $S = \mathbb{S}^n \subset \mathbb{R}^{n+1} = M$ où $M$ a le seul graphique $(M,\mathbf{id})$ et $S$a la topologie du sous-espace. Restriction de la carte d'identité$\mathbf{id}:\mathbb{R}^{n+1} \to \mathbb{R}^{n+1}$ à $S$ne produit pas d'homéomorphisme sur un sous-ensemble ouvert de$\mathbb{R}^k$ pour toute $k$.
L'obstruction? La restriction des graphiques n'est pas suffisamment locale (et la nature des variétés est qu'ils sont des objets globaux corrigés ensemble à partir de données locales ) en raison de l'homéomorphisme en une condition d'ensemble ouvert.
Le correctif? Depuis$S$ est connu pour être une sous-variété, alors pour chaque $p \in S$ vous devriez trouver un graphique $(U,\phi)$de l' atlas maximal de$M$ tel que $(U \cap S, \phi|_{U \cap S})$ est un graphique sur $S$. Cette approche respecte les données locales sur$S$ en important des données locales et non globales depuis $M$. [En fait, par le théorème de rang, vous pouvez garantir que ces graphiques sont des "graphiques en tranches" (cf. la structure intrinsèque d'une sous-variété que vous voyez sur votre lien wiki)]
Dans l'exemple ci-dessus avec $n=1$, si $S$ est le cercle unitaire dans $M=\mathbb{R}^2$, et $p=(0,1)$, alors vous pouvez prendre le graphique $(U,\phi)$ de $M$, où $U = \{y < 1\}$ et $\phi(x,y) = (\frac{x}{1-y}, 1-x^2-y^2)$. ensuite$(U \cap S, \phi|_{U \cap S})$ est un graphique sur $S$ (un graphique en tranches, en fait, car il correspond à $\mathbb{R} \times {0}$).
Le moral? Les sous - variétés héritent de leurs structures des données multiples de l'espace ambiant (comme vous le croyiez), mais vous devez creuser à l'intérieur de$M$atlas maximal de restreindre un ensemble approprié de cartes. De plus, si$S$ est un sous-espace tel que chaque point $p \in S$ est contenu dans un graphique de $M$ qui se limite à un graphique en tranches