La version héréditaire de cette faible notion de finitude est-elle non triviale?
Dis qu'un ensemble $X$ est $\Pi^1_1$-pseudofinite si chaque phrase du premier ordre $\varphi$ avec un modèle avec un ensemble sous-jacent $X$a un modèle fini. L'existence de l'infini$\Pi^1_1$-les ensembles pseudofinis sont cohérents avec $\mathsf{ZF}$, puisque en effet tout ensemble amorphe est$\Pi^1_1$-pseudofinite .
Peut-être étonnamment, il n'est pas immédiatement clair si la classe de$\Pi^1_1$-Les ensembles pseudofinis doivent être fermés sous des unions finies. Ma question est de savoir ce qui se passe lorsque nous corrigeons cette faiblesse par la force brute:
Est-ce cohérent avec $\mathsf{ZF}$qu'il y a un héréditaire infini $\Pi^1_1$-pseudofinite set - c'est-à-dire un ensemble infini $X$ de telle sorte que chaque fois $Y$ est $\Pi^1_1$-pseudofinite, $X\cup Y$ est aussi $\Pi^1_1$-pseudofinite?
Notez que l'hérédité $\Pi^1_1$-les ensembles pseudofinis sont fermés sous des unions finies, donc cela "corrige" la situation ci-dessus. Un espoir naturel est que les ensembles amorphes fassent encore l'affaire, mais je ne vois pas comment - l'argument lié ci-dessus ne suffit certainement pas. (Bien sûr, il y a des notions de finitude plus strictes que l'amorphe - par exemple "dans toute partition en un nombre infini de morceaux, presque tous ces morceaux sont des singletons" - mais à ma connaissance, ils sont tous beaucoup plus difficiles à travailler, donc ce serait soyez très gentil si nous n'avions pas à y aller.)
Réponses
Si j'ai bien compris, il est certainement cohérent qu'il existe une infinité d'hérédité $\Pi_1^1$- ensembles pseudofinis. Il est constant que la classe de$\Pi_1^1$- les ensembles pseudofinis sont fermés sous des unions finies. Je dirai simplement "pseudofinite" au lieu de "$\Pi_1^1$-pseudofinite "pour le reste de cet article.
Théorème. Laisser$N$ être un modèle de ZF-Foundation avec un ensemble infini $A\in N$ satisfaisant:
- $A$ est pseudofinite
- Petites violations de choix avec $A^{<\omega}$: pour tous $X$ il y a un ordinal $\alpha$ et une surjection $A^{<\omega}\times\alpha\to X.$
Dans $N,$la classe des ensembles pseudofinis est fermée sous des unions finies. En particulier,$A$ est héréditaire $\Pi_1^1$-pseudofinite.
Ces hypothèses sont valables dans le modèle de base de Fraenkel, avec $A$étant l'ensemble des atomes. 1 tient parce que$A$ est amorphe, et 2 est valable car donné $X$ on peut bien tout commander $G$-surjections fixes de la forme $A^n\to \{gx:g\in G\}$ avec $x\in X,$ où $G$ est le groupe de symétrie, pour donner une surjection $A^{<\omega}\times\alpha\to \{gx:g\in G, x\in X\}\supseteq X.$ Donc ce modèle a un héréditaire infini $\Pi_1^1$-ensemble pseudofinite.
Puisque vous avez posé des questions sur ZF, la déclaration "si $x$ et $y$ sont pseudofinites alors il en est de même $x\cup y$"est limitable par injection au sens de [1]. Un ensemble pseudo-fini ne peut pas admettre une injection de $\omega,$ car cela lui permettrait d'interpréter $(\omega,<).$Il devrait donc être acceptable de considérer les modèles Fraenkel-Mostowski. Je suis presque sûr que vous pouvez également utiliser le premier modèle Cohen.
Le théorème découlera de l'équivalence de ces conditions pour les ensembles non vides $X\in N$:
- $X$ est pseudofinite
- Il y a une surjection $\coprod_{i\in \alpha} A^{p_i}\to X$ pour certains $\alpha\in\omega$ et $p\in\omega^\alpha.$
- Il y a une surjection $A^n\to X$ pour certains $n$.
1⇒2 : Par les petites violations de l'axiome de choix, il y a surjection$f:A^{<\omega}\times \alpha\to X.$
La séquence $\beta\mapsto f(A^{<\omega}\times\beta)$ est une séquence non décroissante bien ordonnée dans $2^X.$ Si cette séquence est infinie, alors nous pouvons nous limiter à une fonction strictement croissante $g:\omega\to 2^X.$ Cela donne une surjection $X\to\omega$ Défini par $x\mapsto \min\{n:x\in g(n)\}.$ (Alternativement, par un théorème de Kuratowski il y a une injection $\omega\to 2^X$ ssil y a une surjection $X\to\omega.$) Cela permettrait $X$ interpréter la théorie non pseudofinite $(\omega,<).$ Donc nous pouvons supposer $\alpha<\omega.$
De même, la séquence $k\mapsto f(A^{\leq k}\times \alpha)$ est une séquence non décroissante bien ordonnée et doit donc se stabiliser à un certain fini $k.$ Donc $f$ se limite à une surjection $A^{\leq k}\times \alpha\to X.$ Après quelques réindexations, c'est de la forme requise.
2⇒3 : régler$n=2\alpha+\max p_i$ et encoder $i$ en utilisant la relation d'égalité sur le premier $2\alpha$ variables
3⇒1 : On nous donne une surjection$f:A^n\to X$ et une structure de premier ordre $\mathcal X$ au $X,$ et veulent prouver que chaque théorème $\phi$ de $\mathcal X$a un modèle fini. En remplaçant toutes les opérations par leurs graphiques, nous pouvons supposer que$\phi$n'utilise aucune opération. On peut aussi supposer$\phi$n'utilise pas l'égalité logique, en ajoutant une nouvelle relation d'égalité. Chaque relation$R\subseteq X^{a_R}$ peut être ramené à une relation $\hat{R}\subseteq (A^n)^{a_R}=A^{na_R}$ par $$\hat{R}(x_{0,0},\dots,x_{a_R-1,n-1})\iff R(f(x_{0,0},\dots,x_{0,n-1}),\dots,f(x_{a_R-1,0},\dots,x_{a_R-1,n-1}))$$ donner une interprétation de $\mathcal X$ dans une théorie du premier ordre $\hat{\mathcal X}$ défini sur $A.$ La phrase $\phi$ est un théorème de $\hat{\mathcal X},$ doit donc avoir un modèle fini.
[1]: David Pincus, Résultats de cohérence Zermelo-Fraenkel par Fraenkel-Mostowski Methods, The Journal of Symbolic Logic, Vol. 37, n ° 4 (décembre 1972), pp. 721-743