Laisser $f:[a, b]\rightarrow\mathbb{R}$être différenciable. Si $f'(a)=f'(b)$, alors existe un $c \in (a, b)$, tel que $f'(c) = \frac{f(c) - f(a)}{c - a}$
Dans le livre ( Curso de Análise, volume 1 , Elon Lages), il y a une suggestion qui aide beaucoup.
Tout d'abord, considérez que $$f'(a) =f'(b)=0$$ Ensuite, considérez la fonction $g:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$, où $g(x) = \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$ et $g(a) = 0$. Montre CA$g$ atteint son maximum ou son minimum en un point $c \in (a,b)$. Pour le cas général, considérez$$g(x) = f(x) - xf'(a)$$
Je peux voir pourquoi le premier cas: si a prend la dérivée de g, je me retrouve avec quelque chose comme:
$$g'(x) = \frac{1}{x - a} \left( f'(x) - \frac{f(x) - f(a)}{x - a} \right)$$
Ainsi, en étant continu (à partir de l'hypothèse différentiable) sur un ensemble compact, par le théorème de Weierstrass, nous avons que $g$ doit avoir son maximum / minimum sur $c \in [a,b]$. En étant un point critique, nous devons avoir$g'(c) = 0$, et en supposant $c \neq a$, nous avons notre première conclusion.
Mais (1) je ne vois pas pourquoi cela doit être un point intérieur (sérieusement, je suis sur cette question depuis 4 jours), et (2) la deuxième suggestion n'est pas si claire pour moi.
Toute autre idée de solution me sera d'une grande aide.
Réponses
Il y a plusieurs étapes impliquées dans la première partie et voici quelques conseils:
Si $g$ n'a pas de minimum local ou de maximum local en $(a,b)$ puis $g$est nécessairement strictement monotone. Cela implique que$f$ est concave ou convexe (selon que $g$augmente ou diminue). Par conséquent$f'$est monotone. Le fait que$f'(a)=f'(b)=0$ montre que $f'\equiv 0$ et $f$est une constante. Donc tout$c \in (a,b)$ est assez bon.
La deuxième partie est simple. Appliquez simplement la première partie à$g(x)=f(x)-xf'(a)$. Puisque$g'(a)=g'(b)=0$c'est possible). Simplifiez l'équation$g'(c)=\frac {g(c)-g(a)} {c-a}$ pour finir la preuve.