Laisser $P$ être un $30$polygone à côtés inscrit dans un cercle. Trouvez la valeur de $\frac{N}{100}$.

Dec 05 2020

Laisser $P$ être un $30$polygone à côtés inscrit dans un cercle. Il y a$N$ nombre de triangles dont les sommets sont les sommets de $P$ de sorte que deux sommets quelconques de chaque triangle soient séparés par au moins trois autres sommets en $P$. Trouvez la valeur de$\frac{N}{100}$.

Ce que j'ai essayé : Cela ressemble plus à un problème de combinatoire qu'à un problème de géométrie, alors voici ce que je pense.

Tout d'abord, fixez un point d'un triangle. Le point suivant peut être choisi dans$23$façons. Mais je ne sais pas comment choisir le$3$rd point, quant au choix du $2$Et il y a aussi de légères variations, qui ne suivent pas la règle.

J'ai pensé avant de fixer un point, puis le suivant $2$ les points peuvent être choisis dans ${23}\choose{2}$ moyens, mais ensuite je me suis rendu compte que c'était faux car ces $2$ les points peuvent ne pas avoir $3$ écart de points, et je ne pouvais pas savoir comment progresser sur ce point.

Comme d'habitude, je sais aussi que le nombre de triangles sur un $n$un polygone à côtés sans côtés partagés est donné par la formule: - $$\rightarrow\frac{n(n-4)(n-5)}{6}$$ Donc, le nombre total de triangles est $3250$, mais je ne sais pas comment ce fait aidera à résoudre ce problème.

Quelqu'un peut-il m'aider? Je vous remercie.

Réponses

4 cosmo5 Dec 05 2020 at 20:20

Choisissez n'importe quel point et appelez-le $A_1$. Étiquetez les points dans le sens antihoraire$A_2,\ldots,A_{30}$ .

Le deuxième sommet peut être n'importe lequel de $A_5$ à $A_{27}$.

Quand la seconde est $A_5$, le troisième sommet peut être n'importe lequel de $A_9$ à $A_{27}$. C'est$19$ façons.

Quand la seconde est $A_6$, le troisième sommet peut être n'importe lequel de $A_{10}$ à $A_{27}$. C'est$18$ façons.

Etc. Nombre de triangles$= 19+18+17+\ldots+1$

Nous pourrions commencer sur n'importe quel point en tant que premier sommet, donc souhaité est $$\dfrac{19\cdot20}{2} \cdot \dfrac{30}{3}$$

Si nous devions partir au moins $k$ points entre les sommets adjacents, par la même logique, nous obtiendrons $$\dfrac{n(n-3k-1)(n-3k-2)}{6}$$

pour approprié $k$. Depuis$3k+2$ nombre de points sont omis en premier lorsque le deuxième sommet est $A_{k+2}$.

2 BillyJoe Dec 05 2020 at 21:04

Une autre approche consiste à utiliser la méthode des étoiles et des barres.

On peut généraliser et considérer à la place des triangles, $k$polygones à côtés. Laissez également$d$ être la "distance" minimale entre les sommets de ces $k$polygones à côtés, où «distance» est le nombre de sommets intérieurs plus un. Dans notre cas, nous avons$k = 3$ et $d = 4$. Le problème devient donc de trouver le nombre de solutions de:

$$ x_1 + x_2 + \ldots + x_{k-1} + x_k = n$$

$x_i, i=1,\ldots,k$ sont les "distances" entre les sommets du $k$polygones à côtés, avec la contrainte:

$$x_i \ge d, i=1,\ldots,k$$

Nous pouvons définir $y_i = x_i+d, i=1,\ldots,k$, puis la première équation devient:

$$y_1 + y_2 + \ldots + y_{k-1} + y_k = n-kd$$

avec $y_i \ge 0, i=1,\ldots,k$. Par conséquent, par la méthode des étoiles et des barres, les solutions pour chaque sommet sont:

$${n-kd+k-1 \choose k-1}$$

et il y a $n$ sommets, mais tous $k$polygone à côtés est en commun avec $k$ d'entre eux, donc la solution finale est:

$${n-kd+k-1 \choose k-1}\frac{n}{k}={30-3\cdot4+3-1 \choose 3-1}\frac{30}{3}={20 \choose 2}\frac{30}{3}=1900$$