Laisser $P(x)=a_0+a_1x+a_2 x^2+a_3x^3+…+a_nx^n$ et $P(1)=4$ et $P(5)=136$
Laisser $P(x)$ être un polynôme tel que, $$P(x)=a_0+a_1x+a_2 x^2+a_3x^3+.......+a_nx^n,~~(a_i,n\in{Z^{\geq 0}})$$
$$ P(1)=4, P(5)=136$$
Nous devons trouver $P(3)$
Ce problème est plus difficile qu'il n'y paraît (du moins pour moi)
Ce que j'ai essayé de faire était $$P(1)=a_0+a_1+a_2+a_3+.......+a_n=4$$ et $$P(5)=a_0+5a_1+25a_2 +125a_3+.......+a_n5^n$$
Laisser $P(1)=S$, et nous prenons $a_0$ à côté de $S$ et multiplier $(S-a_0)$ par $5$et quelques annulations. Simplement ça ne mène nulle part
Puis-je obtenir des conseils sur la façon de procéder?
Réponses
L'observation cruciale vient du fait que les coefficients doivent être en $\mathbb{Z}^{\geq 0}$.
$P(5) = 136$ ne peut être écrit que des manières suivantes en utilisant des puissances de 5:
- $1 + (27)(5)$
- $1 + (22-5i)(5) + (i+1)(5^2)$ pour $i = 0,1,2,3,4$
- $1 + (2)(5) + (1)(5^3)$
Le seul qui satisfait $P(1) = 4$ est le dernier qui est $P(x) = 1 + 2x + x^3$.
Par conséquent, $P(3) = 34$
Clairement $n\le 3$ comme $a_n5^n>136$ pour $n\ge 4$ et $a_n\ge 1$. Depuis$P(5)=136$ cela force $a_3\le 1$. Si$a_3=1$, clairement $a_2=0$ quelles forces $a_1=2$ et $a_0=1$. Si$n=2$, comme $a_0+a_1+a_2=4$, il est facile de vérifier si tous les $a_i$ sont inférieurs ou égaux à $4$, $P(5)=136$ n'est pas réalisable.
D'accord ... des indices.
Quel est le reste de $136$ divisé par $5,25, 125$ et $625$.
Qu'est-ce que cela dit sur $P(5) = \sum_{k=0}^n 5^k a_k$ et les valeurs de $a_k$.
Et $P(1) = \sum_{k=0}^n 1^k\cdot a_k$. Qu'est-ce que cela dit sur le nombre de valeurs non nulles de$a_k$ il existe et quelles peuvent être leurs valeurs maximales.
J'espère qu'avec ces indices, vous pouvez non seulement dire ce que $P(3)$ est, vous pouvez exprimer $P(x)$ avec une certitude absolue.
Indice: étant donné que $P(1)=4$, Je suis tenté d'écrire $P(x) = x^{n_1}+x^{n_2}+x^{n_3}+x^{n_4}$ où $n_1,n_2,n_3,n_4$ne sont pas nécessairement distincts. Puis en utilisant le fait$P(5)=136$ devrait être plus facile.