Laissez le cercle inscrit toucher $AB$et $AC$à $F$et $E$. Laisser $C \cap FE=L$et $BI \cap EF= N$. Montre CA $B,L,N,C$est cyclique.

Question

Laisser$ABC$être un triangle avec I comme incentre et laisser l'incircle toucher$AB$et$AC$à$F$et$E$. Laisser$C\cap FE=L$et$BI\cap EF= N$. Montre CA$B,L,N,C$est cyclique.

Maintenant, je n'ai pas de progrès significatif mais voici mes observations :

• $BLNC$est cyclique , couché sur le cercle de diamètre$ BC$
• $FLIB$et$NIEC$sont également cycliques.

Je pense que cette question est facilement bashable mais je veux obtenir une preuve synthétique.

Merci d'avance !

Answer 1

Prétendre. $\angle BLI=90$

Preuve de réclamation. C'est assez pour montrer$BFLI$est cyclique où$D=\odot(I)\cap BC$. Pour cela, notez que$$\angle LDB=\pi - \angle LDC=\pi - \angle LEC=\angle AEF=\angle AFE$$Ainsi,$BFLI$est cyclique. Ceci complète la preuve de réclamation.

De même, on obtient,$\angle BLC=90=\angle BNC$alors$BLNC$est cyclique avec$BC$comme diamètre.

Answer 2

Savoir comment prouver que$FLIB$et$NIEC$sont cycliques, vous êtes plus qu'à mi-chemin résolu.

Vous devez prouver$\angle LBN=\angle LCN$(alors$BLNC$est cyclique).
Mais$\angle LBI=\angle LFI$puisque$BFLI$est cyclique,
de même$\angle ICN=\angle IEN$puisque$NIEC$est cyclique.

Donc tu dois prouver$\angle IFE=\angle IEF$mais c'est vrai depuis$\triangle IEF$est isocèle --$IF=IE$sont des rayons intérieurs.