Le gradient d'une fonction convexe est continu à l'intérieur de son domaine

Aug 17 2020

Étant donné une fonction convexe, semi-continue inférieure et appropriée $f:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$ qui est différenciable sur son domaine, est-il vrai que son gradient $\nabla f$ est continue à l'intérieur du domaine de $f$? Ici je prends$\text{dom}f = \{x\in\mathbb{R}^n: f(x)<\infty\}$. Ce que j'ai proposé, c'est que pour une telle fonction$f$, il doit être vrai que $f$est localement Lipschitz continue sur son domaine et ensuite par le théorème de Rademacher il est localement différentiable ae. Cela n'obtient pas ce que je veux, cependant. Quelqu'un a-t-il une preuve ou un contre-exemple?

Edit: c'est le corollaire 9.20 dans Rockafellar et Wets, en fait.

Réponses

1 StephenMontgomery-Smith Aug 17 2020 at 04:07

Sans perte de généralité, il suffit de prouver $\nabla f$ est continue à $x = 0$ quand $\nabla f(0) = 0$. Supposer$x_n \to 0$ est telle que $|\nabla f(x_n)| > a > 0$. Donné$\epsilon>0$ tel que $B(0,2\epsilon) \subset \text{dom}(f)$, choisissez $n$ pour que $x_n \in B(0,\epsilon)$ et $f(x_n) - f(0) > -\epsilon^2$. Nous savons qu'il existe$y \in B(x_n,\epsilon)$, $y \ne x_n$, tel que $$ f(y) \ge f(x_n) + a |x_n - y| $$ (c'est-à-dire, choisissez $y$ en direction de $\nabla f(x_n)$ proche de $x_n$). Pour$t \in \mathbb R$, laisser $z_t = t(y-x_n) + x_n$. Par convexité, voyez que pour$t \ge 1$ $$ \tfrac1t f(z_t) + (1-\tfrac{1}t) f(z_0) \ge f(z_1) ,$$ C'est $$ f(z_t) \ge f(x_n) + a t |x_n-y| .$$ Choisir $t = \epsilon / |x_n - y|$. Notez que$|z_t| < 2 \epsilon$. ensuite$$ f(z_t) - f(0) = f(z_t) - f(x_n) + f(x_n) - f(0) \ge a \epsilon - \epsilon^2 . $$ Cela contredit que $\nabla f(0) = 0$.

TrivialPursuit Nov 13 2020 at 06:13

Je mets à jour ce message avec la question de suivi: Si $f$ est une fonction convexe définie sur un ensemble convexe $E\subseteq \mathbb R^n$ et s'il est différenciable sur $E$, est-il vrai que son gradient doit être continu sur $E$ (et pas seulement à l'intérieur)?