Le morphisme entre domaine intégral et champ est-il injectif?

Dec 28 2020

Je viens de lire dans les notes de mon algèbre linéaire la déclaration suivante: Soit A un domaine intégral et K un champ. Tout morphisme d'anneau différent de zéro$\phi : A \to K$ est injectif.

Je pense que cette affirmation est fausse en considérant le morphisme $$\phi : \mathbb Z \to \mathbb Z /2 \mathbb Z$$ $$n \to [n]$$ Il s'agit d'un morphisme entre un domaine intégral et un champ mais clairement non injectif.

Alors, la déclaration est-elle fausse? Je suis tout à fait sûr du contre-exemple mais chaque fois que je n'étais pas d'accord avec les notes de mon professeur, je me trompais.

Réponses

4 TrevorGunn Dec 28 2020 at 02:08

Tu as raison. Voici deux possibilités pour ce que la déclaration aurait dû être:

  1. Tout morphisme de $K \to A$ est injectif (car le noyau est un idéal de $K$ et les seuls idéaux sont $(0)$ et $(1) = K$). Ça n'a pas tellement d'importance que$A$ est ici un domaine intégral autre que de savoir que $A \neq 0$. Si$A$ étaient $0$ puis $K \to 0$ est non-injectif.

  2. La carte $A \to \operatorname{Frac}(A)$ est injectif.