Le morphisme entre domaine intégral et champ est-il injectif?
Je viens de lire dans les notes de mon algèbre linéaire la déclaration suivante: Soit A un domaine intégral et K un champ. Tout morphisme d'anneau différent de zéro$\phi : A \to K$ est injectif.
Je pense que cette affirmation est fausse en considérant le morphisme $$\phi : \mathbb Z \to \mathbb Z /2 \mathbb Z$$ $$n \to [n]$$ Il s'agit d'un morphisme entre un domaine intégral et un champ mais clairement non injectif.
Alors, la déclaration est-elle fausse? Je suis tout à fait sûr du contre-exemple mais chaque fois que je n'étais pas d'accord avec les notes de mon professeur, je me trompais.
Réponses
Tu as raison. Voici deux possibilités pour ce que la déclaration aurait dû être:
Tout morphisme de $K \to A$ est injectif (car le noyau est un idéal de $K$ et les seuls idéaux sont $(0)$ et $(1) = K$). Ça n'a pas tellement d'importance que$A$ est ici un domaine intégral autre que de savoir que $A \neq 0$. Si$A$ étaient $0$ puis $K \to 0$ est non-injectif.
La carte $A \to \operatorname{Frac}(A)$ est injectif.