Les éléments de deux sous-groupes normaux abéliens font-ils la navette?

Question

Alors $H$ et $K$sont des sous-groupes abéliens normaux d'un certain groupe. Est-ce vrai pour tous$h \in H$ et pour tous $k \in K$ cette $hk=kh$? Je ne pense pas que l'énoncé soit valide mais je suis incapable de trouver un contre-exemple (assez simple).

Answer 1

Laisser $G=\{\pm1,\pm i,\pm j,\pm k\}$ être le groupe d'ordre quaternion $8$. Considérer$H=\{\pm1,\pm i\}$ et $K=\{\pm1,\pm j\}$.

Answer 2

Le contre-exemple le plus simple est le groupe dièdre $D_8$, disons généré par $a$ d'ordre $4$ et $b$ d'ordre $2$. Chaque élément de$D_8$ se trouve dans un sous-groupe d'ordre normal $4$: $\{1,a,a^2,a^3\}$, $\{1,a^2,b,a^2b\}$ et $\{1,a^2,ab,a^3b\}$. Ce sont bien sûr tous abéliens, puisqu'ils ont de l'ordre$4$. Si votre déclaration tenait, alors$D_8$ serait donc abélien, ce qui n'est bien sûr pas.

L'exemple de $Q_8$des deux autres réponses est parfaitement valable, bien sûr. En fait, si$G$ est un groupe d'ordre non abélien $p^3$ alors chaque élément se trouve dans un sous-groupe d'ordre $p^2$ (qui est nécessairement abélien et normal), et donc tout groupe d'ordre non abélien $p^3$ est un contre-exemple.

Answer 3

Tout groupe hamiltonien vous donnera un contre-exemple par définition, car tout sous-groupe cyclique est abélien et normal, mais vous pouvez trouver deux sous-groupes cycliques avec des générateurs qui ne font pas la navette.

Le plus petit exemple de ce type est le groupe quaternion $Q_8$.