Les ensembles récursivement énumérables forment-ils une couverture pour$\mathbb{N}$? Si oui, quelles conditions de saturation supplémentaires satisfait-il ?
Les ensembles récursivement énumérables sont une collection de sous-ensembles de$\mathbb{N}$, dont la définition est bien connue et peut être trouvée sur Wikipédia ici . Hier, je suis tombé par hasard sur une définition des "Espaces Topologiques Généralisés", ici (définition 2.2.1) (ci-après dénommé GTS). La définition est étendue et je demande au lecteur de vérifier le lien, mais pour le texte de la question ; un triplé$(X, Op_X, Cov_X)$, avec un ensemble$X$, une collection d'ensembles ouverts$Op_X\in 2^X$, et revêtements admissibles$Cov_X\in 2^{2^X}$(cette dernière différencie GTS de la topologie régulière ; les unions ne sont pas arbitraires mais plutôt limitées à$Cov_X$) forme un GTS si le triplet satisfait certaines conditions, A1 à A8.
On peut alors vérifier si le triple$(\mathbb{N}, RE, Cov_{RE})$forme un tel espace (où$RE$est la collection d'ensembles récursivement énumérables, et$Cov_{RE}$est l'ensemble des collections$C$de$RE$des éléments tels que$C$est lui-même récursivement énumérable[1]). Il s'avère que non : les conditions A7 et A8 (les axiomes de saturation[2] et de régularité) échouent pour ce triplet.
La prochaine étape consiste à examiner ce qui se passe si nous ignorons simplement lesdites conditions défaillantes, ou, en d'autres termes, à généraliser davantage le GTS. Le même texte qui présente la définition de GTS explique que ladite définition est liée aux topologies de Grothendieck, mais ici nous nous heurtons à un hic ; alors que la définition de GTS a été expliquée avec un langage simple de théorie des ensembles, la topologie de Grothendieck est, pour autant que je sache, un concept profondément enraciné dans la théorie des catégories, dont je suis encore loin de comprendre le langage. Néanmoins, on peut naviguer dans le ncatlab et atteindre la définition de Site, ici , qui est une catégorie avec une Couverture, quelque chose de défini ici. Ma compréhension est que la couverture est la définition la plus générale dans ce contexte, et que l'on obtient des (pré)topologies de Grothendieck en imposant des conditions supplémentaires à une couverture (je ne sais pas exactement où GTS s'intègre dans tout cela, mais je crois que les sites sont en effet une généralisation de GTS).
La vraie question que je pose ici se décompose en plusieurs parties :
- Ai-je raison sur ce qu'est un site ? Autrement dit, si nous "décatégorisons" la définition de site (et de couverture aussi, bien sûr), aboutissons-nous à quelque chose comme la définition de GTS, mais avec moins de conditions ?
- Si oui, est-ce que le triple$(\mathbb{N}, RE, Cov_{RE})$créer un site ? C'est-à-dire est$Cov_{RE}$en effet une couverture pour$\mathbb{N}$? Par exemple, est-il "stable sous pullback" (quoi que cela signifie !) ?
- Si cela est également vrai, quelles "conditions de saturation" supplémentaires (voir ici )$Cov_{RE}$satisfaire? J'imagine que, pas assez pour que ce soit une bonne topologie de Grothendieck, mais peut-être assez pour une prétopologie ?
[1] - Un léger abus de langage est pratiqué lorsqu'il est dit que "$C$est récursivement énumérable" (on s'attendrait à$C\in RE$à partir de cette seule phrase, mais en fait$C\in 2^{RE}$dans ce cas précis); pour ceux qui ne sont pas à l'aise avec cela, une façon équivalente de définir$Cov_{RE}$est comme suit. Tout d'abord, corrigez$\phi : \mathbb{N} \rightarrow RE$, une énumération calculable de RE elle-même. Alors$Cov_{RE}$est$\{C \in 2^{RE} \mid \exists S \in RE , \forall s \in RE, s \in C \leftrightarrow \exists n\in S, s = \phi(n) \}$, c'est-à-dire une collection$C$des éléments RE appartient à$Cov_{RE}$ssi il existe$S\in RE$telle que l'on peut cartographier$\phi$plus de$S$et obtenir$C$comme résultat.
[2] - Notez que "l'axiome de saturation" ici est spécifique pour GTS, les définitions liées à la théorie des catégories plus loin dans la question ont leurs propres conditions de saturation multiples.
Réponses
Supposons que nous ayons affaire à un ensemble partiellement ordonné arbitraire$(P, \leq)$. Dans le cas particulier des espaces topologiques,$P$est une collection de sous-ensembles de$X$, l'espace sous-jacent. On peut considérer$P$comme une catégorie de manière canonique comme suit : l'ensemble des objets est$P$, il y a au plus une flèche entre chaque$x, y \in P$, et il y a une flèche entre$x$et$y$ssi$x \leq y$.
Un tamis sur un objet$x$peut être défini comme une collection$S \subseteq \{(f, z) | f : z \to x\}$qui satisfait la propriété que pour tout$(f, z) \in S$et chaque$g : w \to z$, Nous avons$(f \circ g, w) \in S$.
Quand on parle d'un ensemble partiellement ordonné, la première composante de$(f, z)$où$f : z \to x$n'ajoute aucune information (autre que le fait que$z \leq x$) puisqu'il y a au plus un$f : z \to x$. Ainsi, on peut considérer de manière équivalente un tamis$S$sur$x$être une collection$S \subseteq \{z \in P : z \leq x\}$st pour tous$z \in S$, pour tous$w \leq z$,$w \in S$. C'est ce que j'appellerai un PO-tamis.
Donné un tamis$S$sur$y$et une flèche$f : x \to y$, on peut définir le$f^*(S) = \{(g, z)| g : z \to x$et$f \circ g \in S\}$, un tamis sur$y$.
De même, étant donné un PO-tamis$S$sur$y$et certaines$x \leq y$, nous pouvons définir$S_x = \{z : z \leq x$et$z \in S\}$, un tamis sur$x$.
Une topologie de Grothendieck sur une catégorie$C$est un mappage de chaque objet$x \in C$à une famille$F_x$de tamis sur$x$qui satisfait plusieurs axiomes.
En conséquence, une topologie PO-Grothendieck sur un poset$P$doit être un mappage de chaque élément$x \in P$à une famille$F_x$de tamis PO qui satisfait les axiomes correspondants.
Axiome 1 de la topologie de Grothendieck : pour tout$x \in C$, Nous avons$\{(f, z) : f : z \to x\} \in F_x$.
Axiome 1 correspondant de la topologie PO-Grothendieck : pour tout$x \in P$, Nous avons$\{z : z \leq x\} \in F_x$.
Axiome 2 de la topologie de Grothendieck : pour tout$f : x \to y$, pour chaque tamis$S \in F_y$, Nous avons$f^*(S) \in F_x$.
Axiome 2 correspondant de la topologie PO-Grothendieck : pour tout$x \leq y$et pour chaque tamis PO$S \in F_y$, Nous avons$S_x \in F_x$.
Axiome 3 de la topologie de Grothendieck : supposons que nous ayons$S \in F_x$. Et supposons que nous ayons un tamis$P$sur$x$telle que pour tout$(f, z) \in S$,$f^*(P) \in F_z$. Alors$P \in F_x$.
Axiome 3 correspondant de la topologie PO-Grothendieck : supposons que nous ayons$S \in F_x$. Et supposons que nous ayons un tamis PO$P$sur$x$st pour tous$z \in S$,$P_z \in F_z$. Alors$P \in F_x$.
Quel est le lien avec les espaces topologiques généralisés ? Supposons donné un tel espace généralisé. L'ensemble partiellement ordonné$P$est l'ensemble des ouvertures ordonnées par$\subseteq$. Supposons qu'on leur donne une collection$C$d'ensembles ouverts. Définir$f(C) = \{U $ouvert$: \exists V \in C (U \subseteq V)\}$. Notez que pour chaque tel$C$,$f(C)$est un tamis PO. Puis donné$U$ouvert, on peut définir$F_U = \{f(C) : C \in cov_X$et$\bigcup\limits_{V \in C} V = U\}$.
Vérifions que cela nous donne une topologie PO-Grothendieck.
Axiome 1 : cela découle du fait que$\{U\} \in cov_X$pour tous$U$- c'est-à-dire qu'il découle de l'axiome A3.
Axiome 2 : cela découle de l'axiome A5.
Axiome 3 : cela découle de l'axiome A6.
Enfin, nous nous tournons vers votre exemple de$\mathbb{N}$avec "ouvre" des ensembles récursivement énumérables et "couvre" des énumérations récursives d'ensembles récursivement énumérables. Puisque cela satisfait les axiomes A3, A5 et A6, il forme une topologie PO-Grothendieck.