Les fonctionnelles de distance séparent-elles les mesures de probabilité?
Laisser $(\Omega,d)$ être un espace métrique compact et $\mathcal P(\Omega)$son espace de mesures de probabilité de Borel. Laisser$D=\{ d_p\mid p\in\Omega\}$ où $d_p(x)=d(p,x)$être l'ensemble de toutes les «fonctionnelles de distance». Comme d'habitude, on peut penser à$D$ agissant sur $\mathcal P(\Omega)$ (ou vice versa) via l'intégration ie $\langle d_p,\mu\rangle = \int_\Omega d_p(x)\,\mathrm d\mu(x)$.
Question sur le titre
Est-ce que $D$ agissant sur $\mathcal P(\Omega)$ via l'intégration des points séparés?
Ou équivalent,
Si $\mu,\nu \in \mathcal P(\Omega)$ et $\langle d_p,\mu\rangle = \langle d_p,\nu\rangle$ pour tous $p\in \Omega$, alors doit $\mu=\nu$?
Formulations alternatives
Il existe également quelques autres façons de formuler la question.
Formulation probabiliste
Réécrire toutes les intégrales en tant qu'attentes que la question devient,
Si $\mathbb E_{X\sim\mu}[d_p(X)] = \mathbb E_{Y\sim\nu}[d_p(Y)]$ pour tous $p\in \Omega$, alors doit $\mu=\nu$?
En d'autres termes, la connaissance de la distance attendue à un point pour tous les points détermine-t-elle la mesure?
Formulation géométrique
Rappelons que la distance 1-Wasserstein est donnée par $W_1(\mu,\nu) = \inf_{\gamma\in\Gamma(\mu,\nu)} \int_{\Omega\times\Omega} d(x,y) \,\mathrm d\gamma(x,y)$ où $\Gamma(\mu,\nu)$ est l'ensemble des accouplements entre $\mu$ et $\nu$ c'est-à-dire que les mesures de probabilité de Borel sur $\Omega\times\Omega$ avec marginaux $\mu$ et $\nu$respectivement. Depuis la mesure du produit$\delta_p\otimes\mu$ est le couplage unique entre une mesure delta de Dirac $\delta_p$ et $\mu$, nous avons ça
$$W_1(\delta_p,\mu)=\int_{\Omega\times\Omega} d(x,y)\,\mathrm d(\delta_p\otimes\mu)(x,y)=\int_\Omega d(p,y)\,\mathrm d\mu(y)=\langle d_p,\mu\rangle$$
Maintenant, la question peut être formulée géométriquement comme
Si $W_1(\delta_p,\mu)=W_1(\delta_p,\nu)$ pour tous $p\in \Omega$, alors doit $\mu=\nu$?
En d'autres termes, la connaissance du $W_1$ distance aux points extrêmes de $\mathcal P(\Omega)$ déterminer complètement la mesure de probabilité?
Forumlation sur la transformation intégrale
Définir la transformation de distance de$\mu\in\mathcal P(\Omega)$ comme fonction $\phi_\mu:\Omega\to\mathbb R$ donné par $\phi_\mu(p) = \int_\Omega d(p,x)\,\mathrm d\mu(x)$. La question peut maintenant être reformulée comme suit:
La transformation de distance est-elle injective $\mathcal P(\Omega)$?
De plus, par la formulation géométrique nous avons $\phi_\mu(p) = W_1(\delta_p,\mu)$. Nous utiliserons le faible$*$ topologie pour $\mathcal P(\Omega)$ (qui coïncide avec le $W_1$topologie). Depuis la carte$p\mapsto \delta_p$ est une incorporation de $\Omega$ dans $\mathcal P(\Omega)$, il s'ensuit que $\phi_\mu:\Omega\to\mathbb R$est continue. Désignons la transformation de distance par$\Phi(\mu)=\phi_\mu$. Puisque$\mathcal P(\Omega)$ est un Hausdorff compact et $C(\Omega)$ est Hausdorff, nous pouvons reformuler la question comme
Si $\Phi:\mathcal P(\Omega)\to C(\Omega)$ est continu, est-ce une incorporation?
Dernières pensées
L'une de ces déclarations équivalentes est-elle vraie? Je n'ai malheureusement pu que reformuler la question et n'ai identifié aucune preuve claire, même si je ne serais pas surpris qu'il y en ait une facile que j'oublie. La formulation géométrique du problème me porte à croire que$D$ sépare effectivement les points dans $\mathcal P(\Omega)$. Cependant, si la réponse est affirmative, je ressens les bonnes propriétés résultantes de$\Phi$ferait quelque chose qui serait facile à rechercher. Toute idée serait appréciée.
Mise à jour: à la lumière de l'élégant contre-exemple en 4 points de George Lowther et de la réponse affirmative de Pietro Majer pour$\Omega=[0,1]$, il serait intéressant de mieux comprendre quels facteurs déterminent si l'espace métrique sous-jacent donne une réponse affirmative.
Le contre-exemple de George peut être étendu aux contre-exemples où $\Omega$est une sphère (avec métrique intrinsèque). Ainsi, exigeant$\Omega$être de dimension positive, une variété, connectée, connectée au chemin, simplement connectée, etc., ne fera pas disparaître le problème. En revanche, Pietro soupçonne que la réponse est à nouveau affirmative dans le cas où$\Omega$ est un sous-ensemble convexe compact de l'espace euclidien.
Réponses
Non, supposons que $\Omega$ se compose de quatre points disposés en carré, où les points adjacents ont la distance 1 entre eux et les points opposés ont la distance 2. Plus précisément, si les points sont étiquetés A, B, C, D alors \begin{align} & d(A,C)=d(B,D)=2,\\ & d(A,B)=d(B,C)=d(C,D)=d(D,A)=1. \end{align} Par exemple, A, B, C, D pourraient être également espacés autour d'un cercle, en utilisant la métrique du cercle interne.
Il existe précisément deux mesures de probabilité attribuant une probabilité 1/2 à chacun des deux points opposés et une probabilité zéro aux deux points restants. \begin{align} & \mu(\{A\})=\mu(\{C\}) = 1/2,\ \mu(\{B,D\})=0,\\ & \nu(\{B\})=\nu(\{D\})=1/2,\ \nu(\{A,C\})=0. \end{align}Vous pouvez vérifier que ces deux mesures donnent la même intégrale pour toutes les « fonctions de distance». La distance moyenne de chaque point est égale à 1 dans les deux cas.
Du côté positif, la réponse est affirmative si $\Omega$ est l'intervalle unitaire $[0,1]$avec sa distance standard. Dans ce cas$\phi_\mu$ est un convexe $1$-Fonction de Lipschitz (en fait, elle est également définie pour tous $p\in\mathbb{R}$, avec $\phi'(p)=\mathrm{sgn} p$ pour $p\notin[0,1]$), avec dérivées gauche et droite $$\phi_-'(p)=\mu[0,p)-\mu[p,1]= 2\mu[0,p)-1$$ $$\phi_+'(p)=\mu[0,p] -\mu (p,1]= 2\mu[0,p] -1=1-2\mu(p,1]$$ de sorte que $\mu$ est déterminé sur tous les intervalles, donc sur tous les sous-ensembles Borel.
A l'inverse, notez que toute fonction convexe $\phi$comme ci
- dessus peut être écrit sous la forme$\phi(p)=\int_{[0,1]}|t-p|dm(t)$ pour une mesure de probabilité de Borel $m$ sur $[0,1]$. Ceci parce que$g:= \frac{1}{2}\big(1-\phi_+'\big) $ est une fonction cadlag bornée non négative, il existe donc une fonction de probabilité de Borel $m$ tel que $g(p)=m(p,1]$, d'où $\phi(p)=\int_{[0,1]}|t-p|dm(t)$ découle facilement des relations ci-dessus.
Je suppose que la réponse est également affirmative pour $\Omega$ un ensemble compact convexe de $\mathbb{R}^n$ avec la distance euclidienne.