Les réels positifs satisfont $ \sum_{i=1}^{24} x_i = 1 $, déterminer le maximum de la quantité suivante

Question

Ainsi, les réels positifs satisfont ce qui suit

$$ \sum_{i=1}^{24} x_i = 1 $$

Et j'ai besoin de trouver le maximum de la quantité suivante.

$$ \left( \sum_{i=1}^{24} \sqrt{x_i}\right) \left(\sum_{i=1}^{24} \frac{1}{\sqrt{1+x_i} } \right) $$

Maintenant, en utilisant l'inégalité de Cauchy Schwarz, j'ai

$$ \left( \sum_{i=1}^{24} \sqrt{x_i}\right)^2 \leqslant \underbrace{(1+1+\cdots + 1)}_{\text{24 times}} \left( \sum_{i=1}^{24} x_i \right) $$

Cela mène à

$$ \left( \sum_{i=1}^{24} \sqrt{x_i}\right) \leqslant \sqrt{24} $$

Je suis coincé avec une autre partie. Je peux obtenir le minimum des éléments suivants en utilisant une technique similaire.

$$ \left(\sum_{i=1}^{24} \frac{1}{\sqrt{1+x_i} } \right) $$

Mais j'ai besoin d'avoir le maximum de cette quantité pour pouvoir combiner les deux. Tout indice vous aidera.

Answer 1

Nous pouvons lier la seconde somme comme suit. En utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwarz, nous avons ce qui suit.

$$ \left( \sum_{i=1}^{24} \frac{1}{\sqrt{1+x_i}} \right)^2 \leqslant \left( \sum_{i=1}^{24} \frac{1}{(1+x_i)} \right)\underbrace{(1+1+\cdots +1)}_{\text{24 times}} $$

$$ \left( \sum_{i=1}^{24} \frac{1}{\sqrt{1+x_i}} \right)^2 \leqslant 24 \left( \sum_{i=1}^{24} \frac{1}{(1+x_i)} \right) \, \cdots \cdots \cdots(1) $$

Maintenant, je vais utiliser l'inégalité de Hölder.

$$ \left( \sum_{i=1}^{24} \frac{1}{(1+x_i)} \right)^{1/2} \left( \sum_{i=1}^{24} (1+x_i) \right)^{1/2} \leqslant \left[ \sum_{i=1}^{24} \left(\frac{1}{\sqrt{1+x_i}}\right) \left(\sqrt{1+x_i}\right) \right] $$

$$ \left( \sum_{i=1}^{24} \frac{1}{(1+x_i)} \right)^{1/2} \sqrt{25} \leqslant 24 $$

$$ \left( \sum_{i=1}^{24} \frac{1}{(1+x_i)} \right) \leqslant \frac{24^2}{25} $$

$$ 24 \left( \sum_{i=1}^{24} \frac{1}{(1+x_i)} \right) \leqslant \frac{24^3}{25} $$

Donc, en combinant avec l'équation $(1)$, Je reçois,

$$ \left( \sum_{i=1}^{24} \frac{1}{\sqrt{1+x_i}} \right)^2 \leqslant \frac{24^3}{25} $$

$$ \left( \sum_{i=1}^{24} \frac{1}{\sqrt{1+x_i}} \right) \leqslant \frac{24^{3/2}}{5} $$

Enfin, en combinant les deux sommes, j'obtiens

$$ \left( \sum_{i=1}^{24} \sqrt{x_i} \right) \left( \sum_{i=1}^{24} \frac{1}{\sqrt{1+x_i}} \right) \leqslant \sqrt{24} \,\frac{24^{3/2}}{5} $$

$$ \left( \sum_{i=1}^{24} \sqrt{x_i} \right) \left( \sum_{i=1}^{24} \frac{1}{\sqrt{1+x_i}} \right) \leqslant \frac{24^{2}}{5} $$

J'espère que cela pourra aider