$\lim\limits_{k\to\infty}\int\limits_{E_k}f(x)dx=0$ implique $\lim\limits_{k\to\infty}m(E_k)=0$

Question

Laisser $f$ être une fonction mesurable de Lebesgue sur $[0,1]$ avec $f(x)>0$presque partout
Supposons que$\{E_k\}_k$ est une suite d'ensembles mesurables de Lebesgue dans $[0,1]$ tel que $$\lim\limits_{k\to\infty}\int\limits_{E_k}f(x)dx=0$$ Montre CA $\lim\limits_{k\to\infty}m(E_k)=0$

Mes observatioins:
Let$A_n=\bigcup\limits_{k=1}^n E_k$
ensuite $\{A_n\}_{n=1}^{\infty}$est une collection dénombrable de sous-ensembles mesurables croissants. Et$\bigcup\limits_{k=1}^{\infty} E_k=\bigcup\limits_{n=1}^{\infty} A_n$

Aussi comme $\{A_n\}_{n=1}^{\infty}$ est une séquence croissante d'ensembles, nous avons $$\lim\limits_{n\to\infty}\int\limits_{A_n}f(x)dx=\int\limits_{\bigcup A_n}f$$

De plus, séparément, nous avons

$\begin{align} m(\bigcup E_n)&= m(\bigcup A_n)\\&=\lim\limits_{n\to\infty}m(A_n)\\&=\lim\limits_{n\to\infty}m(\bigcup\limits_{k=1}^n E_k)\\ \end{align}$

Mais je ne vois pas comment utiliser ces détails pour arriver à la réponse finale.
Apprécier ton aide

Answer 1

Laisser $B_n=\{x\mid f(x)>1/n\}$. Puis chacun$B_n$ est un ensemble mesurable et $B=\cup B_n$a la mesure 1 par l'hypothèse. Maintenant la mesure de$E_k\cap B_n$ va à $0$ comme $k\to \infty$ pour chaque $n$. Alors$$\lim_{k\to \infty} m(E_k\cap B)=\lim_{k\to \infty} m(E_k)=0.$$