Limite d'une fonction convexe
J'aurais besoin d'un contrôle sur l'exercice suivant:
Laisser $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction convexe.
Prouve-le $\lim_{x \rightarrow \infty} f(x)$ et $\lim_{x \rightarrow - \infty} f(x)$ exister
Montrez que si les deux limites sont finies, alors $f$ est constante.
Ma tentative:
i) Je sais que si $f$ est convexe, alors $$f(t x_1 + (1-t)x_2)< t f(x_1) + (1-t) f(x_2)$$
Si je répare un arbitraire $N>0$, alors j'ai ça pour $x>x_2 \colon \quad f(x)>N$, grâce à la convexité, cela prouve donc la limite à $+ \infty$ est $+\infty$.
Le même argument s'applique à $\lim_{x \rightarrow -\infty}f(x)$: il suffit de noter que pour $x<x_1 \colon \quad f(x)>N$.
ii)
Graphiquement, c'est évident, mais j'ai un problème à le rendre formel.
Si la limite est finie, disons $L$, puis pour chaque $\varepsilon >0$ il existe un $M(\varepsilon)$ tel que pour $$x>M(\varepsilon) \colon \quad |f(x)-L|\leq \varepsilon$$
Présumer $f (x) \ne c$. Par définition de la convexité, elle doit tenir (pour$t \in [0,1]$) $$t f(M)+(1-t)f(M+1) \leq f(t M + (1-t)(M+1))$$
Maintenant, par définition de limite, $f(M)$ et $f(M+1)$ sont inférieurs à $L-\varepsilon$. Aussi, l'argument dans le rhs de l'inégalité peut être simplifié:
$$L-\varepsilon <t f(M)+(1-t)f(M+1) \leq f(t M + (1-t)(M+1)) = f(M-t)$$
Par conséquent $$L-\varepsilon < f(M-t)$$, ce qui est une contradiction car $M-t<M$ et par conséquent, il peut être supérieur à $L-\varepsilon$.
Alors $f$ doit être égal à $c$. En effet dans ce cas, il est encore (trivialement) convexe, et les limites sont bien sûr finies.
Réponses
Astuce: essayez de prouver qu'une fonction convexe est soit décroissante, soit croissante, soit décroissante puis croissante.
la convexité signifie généralement "$\le$", ne pas "$\lt$"(sinon c'est" strictement convexe ").
Vous ne voulez pas montrer que f va toujours à l'infini, car ce n'est pas nécessaire.
Commencer avec $x\rightarrow\infty$.
Supposons d'abord qu'il y ait deux points $x\lt y$ avec $f(x)\lt f(y)$. Ensuite, nous pouvons montrer que f va à l'infini. On peut supposer sans perte de généralité que$x=0$ et $f(x)=0$ (sinon, glissez et déplacez simplement f jusqu'à ce que ce soit le cas. Cela ne changera pas le comportement qui nous intéresse.)
Considérez quelques $z>y$. Depuis$y>x=0$, puis $z=y/t$ pour certains $0<t<1$. Donc par convexité,$$tf(z)=tf(y/t)+(1-t)f(0)\ge f(t(y/t)+(1-t)0)=f(y)$$ Alors $f(z)\ge f(y)/t$. Comme$z\rightarrow \infty$ il est clair que $t$ va à $0$, alors $f(y)/t\rightarrow\infty$ (rappelles toi $f(y)>0$) et donc $f(z)$. Donc dans ce cas$f$ augmente à l'infini.
Sinon, notre supposition était fausse, donc f doit être soit constante, soit non constante et monotone décroissante. Supposons que ce soit ce dernier. Encore une fois, déplacez l'origine pour que$f(0)=0$. ensuite$f(1)<0$ et il est facile de montrer par la propriété de convexité que $f(t)\le t f(1)$ et donc $f$ s'éteint à moins l'infini.
Vous pouvez ensuite répéter l'argument par symétrie, pour le comportement comme $x\rightarrow-\infty$.