Logique de la définition précise des limites?

Question

Je suis un étudiant de première année étudiant le calcul de Thomas. En ce moment, j'apprends la définition précise des limites en utilisant la méthode epsilon delta à utiliser dans les preuves, etc.

Je remarque que lors de la démonstration de la limite d'une fonction, la limite est donnée en premier, puis la méthode epsilon delta est utilisée. Mais n'est-ce pas comme mettre la charrue avant les boeufs?

Par exemple, disons que je dois prouver la limite de 5x-3 à x-> 1. Il semblerait que l'ordre prescrit consiste simplement à utiliser la règle de substitution pour les polynômes, à obtenir 2 comme limite, puis à utiliser la méthode epsilon delta pour montrer que la limite est bien à 2. Cela me déroute car la limite ne devrait-elle pas être un 'inconnu 'd'abord et une preuve doit être utilisée pour dériver la limite comme 2. Comment puis-je savoir en premier lieu que la limite 2 doit être utilisée comme point de départ? L'ordre logique m'apparaît à l'envers.

Answer 1

Vous avez d'abord besoin d'un candidat approprié / d'une estimation éclairée de la limite. Ensuite, seulement après cela, vous pouvez utiliser la définition précise pour PROUVER que votre estimation initiale est bien le cas. En outre, vous pouvez voir que c'est le mieux que vous puissiez faire simplement à partir de la façon dont la définition des limites est donnée:

Définition.

Laisser $f:\Bbb{R}\to \Bbb{R}$ être une fonction, $a\in\Bbb{R}$. Nous disons$f$ a une limite finie à $a$ s'il existe $l\in \Bbb{R}$ tel que pour chaque $\epsilon>0$, il existe $\delta>0$ tel que pour tous $x\in\Bbb{R}$, si $0<|x-a|<\delta$ puis $|f(x)-l|< \epsilon$.

(Dans ce cas, nous pouvons prouver que $l$ est unique et nous le désignons par $\lim_{x\to a}f(x)$)

Remarquez comment la définition commence par "il existe $l\in \Bbb{R} \dots$"Rien que de la façon dont il est formulé, cela suggère qu'avant même de vérifier $\epsilon,\delta$ critère, vous devez avoir une valeur candidate pour la limite $l$. Nulle part la définition ne vous dit quoi$l$ est ou comment s'y prendre pour deviner cela (un tel «travail de conjecture» est quelque chose que vous apprenez au fur et à mesure que vous en apprenez plus).

Par exemple, si vous aviez deux fonctions $f$ et $g$, avec $\lim\limits_{x\to a}f(x) = l_1$ et $\lim\limits_{x\to a}g(x) = l_2$, alors si tout ce que vous faites est de regarder la définition des limites, vous ne pouvez pas le dire $f+g$ a également une limite et que la limite est égale à $l_1+l_2$. La seule hypothèse naturelle serait que si$f+g$ avait une limite, alors il valait mieux être $l_1+l_2$.

Ensuite, une fois que vous avez cette supposition, vous continuez à le prouver en utilisant le $\epsilon,\delta$ définition (où le nœud de la preuve est l'inégalité triangulaire).