$\mathbb N$ est un champ

Question

On trouve une bijection $\phi$ entre $\mathbb N$ et $\mathbb Q$. Par conséquent, définir l'addition et la multiplication en conséquence sur$\mathbb N$ (tel que $\phi$ devient un homomorphisme) se transforme $\mathbb N$ dans un champ.

Y a-t-il une erreur dans mon raisonnement?

Answer 1

Un champ n'est pas seulement un ensemble , c'est un ensemble avec une structure supplémentaire (les deux opérations sur le terrain). Donc ce n'est pas tout à fait vrai que$\mathbb{Q}$ est un champ - plutôt, $(\mathbb{Q};+,\times)$ est un champ.

Les bijections nous permettent de "transporter la structure:" si $\oplus,\otimes$ sont des opérations binaires sur certains ensembles $A$ tel que $(A;\oplus,\otimes)$ est un champ et $f:A\rightarrow B$est une bijection, on peut donner$B$la structure d'un champ de manière naturelle: considérer les opérations$\hat{\oplus}$ et $\hat{\otimes}$ donné par $$x\hat{\oplus} y=f(f^{-1}(x)\oplus f^{-1}(y))\quad\mbox{and}\quad x\hat{\otimes}y=f(f^{-1}(x)\otimes f^{-1}(y))$$ pour $x,y\in B$. Mais l' ensemble $B$lui-même n'est pas un champ; plutôt, la structure $(B; \hat{\oplus},\hat{\otimes})$ est un champ.

En particulier, lorsque nous soulevons l'habituel $+$ et $\times$ le long de votre bijection préférée $h:\mathbb{Q}\rightarrow\mathbb{N}$, nous obtenons des opérations $\hat{+}$ et $\hat{\times}$ tel que $(\mathbb{N};\hat{+},\hat{\times})$est un champ, mais ces opérations seront très étranges - en particulier, elles seront totalement différentes de l'addition et de la multiplication habituelles de nombres naturels auxquels nous sommes habitués. Il n'y a donc pas de tension entre ce résultat et le fait que$(\mathbb{N};+,\times)$n'est clairement pas un champ.

Answer 2

Il n'y a pas d'erreur. En fait, tout ensemble infini peut être transformé en champ. Notez que les opérations que vous définissez sur$\mathbb N$ cette manière sera nécessairement différente de l'addition et de la multiplication habituelles des nombres naturels (car avec les opérations habituelles les nombres naturels ne sont pas un champ).

Answer 3

En utilisant la cartographie diagonale habituelle mais en alternant entre des valeurs positives et négatives et en sautant les représentations dupliquées de «fractions pas en termes les plus bas», nous pouvons avoir la bijection dont les premiers termes sont:

$$1\mapsto 0; 2\mapsto 1;3\mapsto -1; 4\mapsto 2;5\mapsto -2; 6\mapsto \frac 12; 7\mapsto -\frac 12; 8\mapsto 3;9\mapsto -3;10\mapsto \frac 13;11\mapsto -\frac 13; 12\mapsto 4;13\mapsto -4; 14\mapsto \frac 32; 15\mapsto -\frac 32; 16\mapsto \frac 23; 17\mapsto -\frac 23; 18\mapsto \frac 14;19\mapsto -\frac 14... etc...$$

Maintenant c'est un champ. L'identité additive est$1$ et $1 + k = k+1 = k$ pour tous $k \in \mathbb N$.

Chaque valeur, $k$ a un inverse additif, $-k$ de sorte que $k+(-k)= 1$. Par exemple, l'inverse additif de$4$ est $-4 =5$ et $4+5 = 1$. également$-11 = 10$ et $11 + 10 = 1$.

L'identité multiplicative est $2$ et $2\cdot k = k\cdot 2 = k$ pour tous $k \in \mathbb N$.

Et pour chaque valeur $k$ sauf $1$, aura un inverse multiplicatif $\frac 1k$ où $k\cdot \frac 1k = 2$. Par exemple$\frac 14 = 6$ et $4\cdot 6 = 2$.

Etc.

Tout cela a du sens parce que tout ce que j'ai fait a été de remplacer les nombres rationnels «habituels» par ce qui s'y mappe. Si je prends des notes sur$k \color{blue}{\mapsto m}$ pour représenter ce que je veux dire "vraiment" et couper et coller ce que j'ai écrit ci-dessus serait:

...........

Maintenant c'est un champ. L'identité additive est$1\color{blue}{\mapsto 0}$ et $1\color{blue}{\mapsto 0} + k = k+1\color{blue}{\mapsto 0} = k$ pour tous $k \in \mathbb N$.

Chaque valeur, $k$ a un inverse additif, $-k$ de sorte que $k+(-k)= 1\color{blue}{\mapsto 0}$. Par exemple, l'inverse additif de$4\color{blue}{\mapsto 2}$ est $-4\color{blue}{\mapsto 2} =5\color{blue}{\mapsto -2}$ et $4\color{blue}{\mapsto 2}+5\color{blue}{\mapsto -2} = 1\color{blue}{\mapsto 0}$. également$-11\color{blue}{\mapsto -\frac 13} = 10{\mapsto \frac 13}$ et $11\color{blue}{\mapsto -\frac 13} + 10\color{blue}{\mapsto \frac 13} = 1\color{blue}{\mapsto 0}$.

L'identité multiplicative est $2\color{blue}{\mapsto 1}$ et $2\color{blue}{\mapsto 1}\cdot k = k\cdot 2\color{blue}{\mapsto 1} = k$ pour tous $k \in \mathbb N$.

Et pour chaque valeur $k$ sauf $1\color{blue}{\mapsto 0}$, aura un inverse multiplicatif $\frac 1k$ où $k\cdot \frac 1k = 2\color{blue}{\mapsto 1}$. Par exemple$\frac 1{4\color{blue}{\mapsto 2}} = 6\color{blue}{\mapsto \frac 12}$ et $4\color{blue}{\mapsto 2}\cdot 6\color{blue}{\mapsto \frac 12} = 2\color{blue}{\mapsto 1}$.

Etc.