Mathematica génère une intégrale trigonométrique ($\sec^3$) sous une forme que je ne peux pas prouver

Question

L'intégrale indéfinie est bien sûr$1/2 ( \sec(x) \tan(x) + \ln | \sec(x) + \tan(x) | ( + C)$.

Mathematica donne :

Integrate[Sec[x]^3, x]

1/2 (-Log[Cos[x/2] - Sin[x/2]] + Log[Cos[x/2] + Sin[x/2]] + Sec[x] Tan[x])

La$1/2 \sec(x) \tan(x)$est là, mais j'ai passé quelques heures à essayer de prouver que le logarithme de Mathematica est vraiment$\ln | \sec(x) + \tan(x) |$, et je ne peux pas le faire ! La$x/2$demi-angles jettent une clé dans les travaux pour moi. Ils me semblent tellement faux, c'est comme la formule du demi-angle à l'envers. J'obtiens des racines carrées là où j'aimerais voir des carrés.

Je suis sûr qu'il me manque quelque chose d'évident, mais je ne le vois tout simplement pas !

Answer 1

Différenciez, combinez les logarithmes et travaillez à rebours en utilisant les formules du demi-angle et l'identité$1+\tan(x)^2 = \sec(x)^2$

FullSimplify[
 D[1/2 (-Log[Cos[x/2] - Sin[x/2]] + Log[Cos[x/2] + Sin[x/2]] + Sec[x] Tan[x]), x]
]
(* result: Sec[x]^3 *)

Vous pouvez vous y rendre vous-même si vous montrez d'abord :

FullSimplify[-(-(1/2) Cos[x/2] - 1/2 Sin[x/2])/(
  Cos[x/2] - Sin[x/2]) + (1/2 Cos[x/2] - 1/2 Sin[x/2])/(
  Cos[x/2] + Sin[x/2])]

(* Sec[x] *)

Pour obtenir le résultat ci-dessus, regardez ce qui se passe lorsque vous le mettez sur un dénominateur commun :

Together[-((-(1/2) Cos[x/2] - 1/2 Sin[x/2])/(Cos[x/2] - Sin[x/2])) + (
  1/2 Cos[x/2] - 1/2 Sin[x/2])/(Cos[x/2] + Sin[x/2])]

(* (Cos[x/2]^2 + Sin[x/2]^2)/
 ((Cos[x/2] - Sin[x/2]) (Cos[x/2] + Sin[x/2])) *)

Le numérateur est évidemment 1 par l'identité$\cos(\theta)^2+\sin(\theta)^2=1$et le dénominateur est$\cos(x)$par demi-angles. Pour voir cela, développez le dénominateur$d=\left(\cos \left(\frac{x}{2}\right)-\sin \left(\frac{x}{2}\right)\right) \left(\sin \left(\frac{x}{2}\right)+\cos \left(\frac{x}{2}\right)\right)$pour obtenir$d=\cos ^2\left(\frac{x}{2}\right)-\sin ^2\left(\frac{x}{2}\right)$. Ensuite nous avons$d = 1-2 \sin ^2\left(\frac{x}{2}\right) = \cos(x)$et$1/d$est$\sec(x)$

... et pour le reste de la dérivée :

FullSimplify[1 - Sec[x]^2]
(* Tan[x]^2 *)

Ainsi donc:

D[1/2 (-Log[Cos[x/2] - Sin[x/2]] + Log[Cos[x/2] + Sin[x/2]] + Sec[x] Tan[x]), x]

(* 1/2 (Sec[x]^3 - (-(1/2) Cos[x/2] - 1/2 Sin[x/2])/(
   Cos[x/2] - Sin[x/2]) + (1/2 Cos[x/2] - 1/2 Sin[x/2])/(
   Cos[x/2] + Sin[x/2]) + Sec[x] Tan[x]^2) *)

(* == (Sec[x]^3 + Sec[x] (1 + Tan[x]^2))/2 *)
(* == (Sec[x]^3 + Sec[x]^3)/2 == Sec[x]^3 *)