Meilleure preuve d'une inégalité numérique de$e^x$

Question

L'inégalité est

$$ e^z \leq 1+z+\frac{z^2/2}{1-|z|/3} \text{ for } |z|<3$$

Je l'ai prouvé en le divisant en 3 cas :$-3<z<0$,$z=0$et$0<z<3$.

Pour$z=0$, les deux côtés sont égaux.

Les 2 autres cas sont faits avec du calcul. Définir$f(x)=e^x-1-x-\frac{x^2/2}{1-|x|/3}$puis remplacer$|x|$par$x$ou$-x$en conséquence. Il suffit ensuite de vérifier les dérivées.

Mais à mon avis, c'est une sorte de force brute, donc je me demande s'il existe un moyen plus rapide (plus intelligent) de le montrer.

Answer 1

Notez que, si$|z|<3$,\begin{align}e^z-1-z&=\frac{z^2}2+\frac{z^3}{3!}+\frac{z^4}{4!}+\cdots\\&=\frac{z^2}2\left(1+\frac z3+\frac{z^2}{3\times4}+\frac{z^3}{3\times4\times5}+\cdots\right)\\&\leqslant\frac{z^2}2\left(1+\frac{|z|}3+\frac{|z|^2}{3\times4}+\frac{|z|^3}{3\times4\times5}+\cdots\right)\\&\leqslant\frac{z^2}2\left(1+\frac{|z|}3+\frac{|z|^2}{3^2}+\frac{|z|^3}{3^3}+\cdots\right)\\&=\frac{z^2}2\cdot\frac1{1-|z|/3}.\end{align}