Montrant$(M \otimes_K N) \otimes_K K_n \cong (M \otimes_K K_n) \otimes_{K_n} (N \otimes_K K_n)$

Question

Laisser$K = \mathbb{C}[[h]]$soit l'algèbre des séries formelles de puissance du champ complexe et soit$K_n = \frac{\mathbb{C}[[h]]}{(h^n)}$. J'essaie de comprendre l'isomorphisme suivant:

$(M \otimes_K N) \otimes_K K_n \cong (M \otimes_K K_n) \otimes_{K_n} (N \otimes_K K_n)$

Merci!

Answer 1

L'assertion vaut pour toute algèbre commutative$B$sur un anneau commutatif$A$et$A$-modules$M,N$. Cela découle de cette chaîne de$B$-isomorphismes de modules :\begin{align} (M\otimes_AB)\otimes_B(N\otimes_AB) &\xrightarrow\sim M\otimes_A(B\otimes_B(N\otimes_AB)\\ &\xrightarrow\sim M\otimes_A(N\otimes_AB)\\ &\xrightarrow\sim(M\otimes_AN)\otimes_AB\\ \end{align}