Montre CA $2^n-1 \neq k^y$ pour bizarre $y$ [dupliquer]
Pour $n\in \mathbb N$, $n>1$ prouve-le $$2^n-1 \neq k^y$$ pour tous $k,y \in \mathbb N_{\geq 2}.$
En supposant pour contradiction qu'il existe $(k,y)$ tel que $2^n-1 = k^y$, J'ai réussi à prouver que la paire n'existe pas pour un k pair, et pour un y pair.
J'ai besoin de prouver qu'il n'existe pas non plus pour un an impair.
J'ai besoin d'utiliser dans cette preuve que
$$\frac{x^{2k+1}+1}{x+1} = x^{2k} -x^{2k-1}+\cdots+1.$$
Je vous remercie!
Réponses
Si $y$ est étrange (par exemple $y=2z+1$), puis:
$$2^n=k^y+1=(k+1)(k^{2z}-k^{2z-1}+\ldots+ 1)$$
Cela signifie que la somme entre les deuxièmes parenthèses à droite a $2z+1$ termes, tous étant impairs, donc la somme entière est impaire.
Cela signifie à son tour que $2^n\mid k+1$ comme toutes les occurrences du facteur premier $2$ doit être présent dans le premier facteur $k+1$.
Cependant, comme nous l'avons également $k+1\mid 2^n$, cela signifie que $k+1=2^n$, c'est à dire $k=2^n-1=k^y$. Alors non plus$k=1$ et donc $2^n=2$, c'est à dire $n=1$ (contradiction), ou $k>1$, ce qui implique $y=1$ (contradiction).