Montre CA $(\Bbb Z/15\Bbb Z)^{\times}\simeq\Bbb Z/4\Bbb Z\times\Bbb Z/2\Bbb Z$

Question

Montre CA $(\Bbb Z/15\Bbb Z)^{\times}\simeq\Bbb Z/4\Bbb Z\times\Bbb Z/2\Bbb Z$, où $(\Bbb Z/15\Bbb Z)^{\times}$ est le groupe d'entiers modulo $15$ sous multiplication.

C'est une question impliquant le premier théorème de l'isomorphisme mais je ne sais pas comment l'utiliser avec un produit direct. J'ai vérifié si les groupes sont cycliques et j'ai également essayé de trouver des fonctions$f:\Bbb Z/4\Bbb Z\times\Bbb Z/2\Bbb Z\to(\Bbb Z/15\Bbb Z)^{\times}$mais cela ne m'a mené nulle part. Si possible, un indice aiderait.

Answer 1

Nous avons toujours $$ (\Bbb Z/pq\Bbb Z)^{\times}\cong (\Bbb Z/p\Bbb Z)^{\times}\times (\Bbb Z/q\Bbb Z)^{\times}, $$ pour les nombres premiers $p$ et $q$ par le CRT (Chinese Remainder Theorem).

De plus, nous avons $(\Bbb Z/p\Bbb Z)^{\times}\cong \Bbb Z/(p-1)\Bbb Z$.

Références:

$\mathbb Z_{mn}$ isomorphe à $\mathbb Z_m\times\mathbb Z_n$ n'importe quand $m$ et $n$ sont coprime

Est ma preuve que $U_{pq}$ n'est pas cyclique si $p$ et $q$ les nombres premiers impairs distincts sont-ils corrects?