Montre CA $f’(0)$ existe et vaut 1.

Dec 12 2020

Laisser $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$être continu. Suppose que$f’(x)$ existe pour tous $x \neq 0$ et $ \lim_{x\to\ 0} f'(x) = 1$. Montre CA$f’(0)$ existe et $f’(0) = 1$

Ma tentative: $$1 = \lim_{x\to0} \lim_{h\to0}\frac{f(x + h) - f(x)}{h} = \lim_{h\to0}\frac{f(0 + h) - f(0)}{h} = f’(0)$$

Je ne pense pas que l'échange de limites que j'ai effectué soit correct. Quelqu'un peut-il m'aider à faire cela.

Réponses

2 gtoques Dec 12 2020 at 15:15

Je pense que l'article lié à Martin R dit quelque chose de similaire, mais c'est une application standard du MVT: Fix $h>0$ et considérer $\frac{f(h) - f(0)}{h}$, alors par le théorème de la valeur moyenne, vous pouvez trouver un point $a \in (0,h)$ tel que $\frac{f(h) - f(0)}{h} = f'(a)$. Maintenant prends$h \to 0$. Qu'arrive-t-il à$a$? Garde en tête que$a$ dépend de $h$.

De plus, interchanger les limites n'est pas une bonne idée, sauf si vous faites appel à un théorème / résultat spécifique qui vous permet de le faire. En général, même les limites «faciles» ne peuvent pas être modifiées.