Montre CA $f(x) = x|x|$ est continue et différentiable - vérification de la solution?

Question

Un autre exercice que j'ai fait sans aucune solution.

Je doute fortement que ce soit correct, alors veuillez me corriger :)

Laisser $f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ être donné par $f(x):=x|x| .$ Montre CA $f$ est continu et différenciable sur $\mathrm{R}$

$$ \begin{array}{l} \text { Continuous: } \lim _{x \rightarrow c} f(x)=f(c) \\ \begin{aligned} \lim _{x \rightarrow c} x \cdot|x| &=\lim _{x \rightarrow c} x \cdot \lim _{x \rightarrow c}|x|=f(c) \\ &=\lim _{x \rightarrow c} c \cdot \lim _{x \rightarrow c}|c|=f(c) \\ &=c \cdot|c|=f(c)=c \cdot|c| \end{aligned} \end{array} $$ Alors $f(x)$ est continu

Différenciable: montrer $f^{\prime}(x)$ existe du tout $x \in \mathbb{R}$ : $$ \begin{array}{l}\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ \lim _{h \rightarrow 0} \frac{(x \cdot|x|)+h-(x \cdot|x|)}{h} \\ =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{h}{h}=1\end{array} $$ $$ So f(x) \text { is differentiable } $$

Answer 1

La partie continuité est correcte, mais pas la partie différentiabilité. Notez que$f(x)=x^2$ est $x\geqslant0$. Cela montre que$f'(x)=2x$ est $x>0$ et que le bon dérivé de $f$ à $0$ est $0$. Par le même argument,$f'(x)=-2x$ est $x<0$ et le dérivé gauche de $f$ à $0$ est $0$. Alors,$f$ est différenciable en $\Bbb R\setminus\{0\}$ et, puisque la gauche et la droite dérivées à $0$ sont tous deux égaux à $0$, $f'(0)=0$. En particulier,$f$ est différenciable à $0$ aussi.

Answer 2

Alternativement,

• pour $x<0$, $f(x)=-x^2$, qui est différenciable;

• pour $x>0$, $f(x)=x^2$, qui est différenciable;

• à $x=0$, $\dfrac{f(h)-f(0)}h=\pm h\to 0$ confirme que la fonction est différenciable.

Une fonction différentiable est également continue.

Answer 3

Pour $x\neq 0$, $$\begin{align*} \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}&= \lim_{h\to 0} \frac{(x+h)|x+h|-x|x|}{h}\\&=\lim_{h\to 0} \frac{x|x+h| + h|x+h|-x|x|}{h}\\&=\lim_{h\to 0} \frac{x(|x+h|-|x|)+h|x+h|}{h}\\&= \lim_{h\to 0}\frac{x(|x+h|-|x|)}{h} + \frac{h|x+h|}{h}\\&=\bigg[x\lim_{h\to 0}\frac{|x+h|-|x|}{h}\bigg]+|x|\\&=\frac{x^2}{|x|}+|x|\\&= 2\frac{x^2}{|x|}\\&=2\bigg|\frac{x^2}{x}\bigg|\\&=2|x|\end{align*} $$

Pour les limites gauche et droite de $$f'(x)=\frac{x^2}{|x|}+|x|$$ comme $x\to 0$, les deux vont à $0$, alors $f(x)$ est différenciable à $0$.

Remarque: pour $g(x)=|x|$, $$\begin{align*} g'(x)&=\lim_{h\to 0} \frac{|x+h|-|x|}{h}\\&=\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{(x+h)^2}-\sqrt{x^2}}{h}\\&=\lim_{h\to 0} \frac{(x+h)^2-x^2}{h(\sqrt{(x+h)^2}+\sqrt{x^2})}\\&=\lim_{h\to 0}\frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h(\sqrt{(x+h)^2}+\sqrt{x^2})}\\&= \lim_{h\to 0} \frac{2x+h}{\sqrt{(x+h)^2}+\sqrt{x^2}}\\&= \frac{2x}{2|x|}\\&=\frac{x}{|x|}\end{align*}$$