Montre CA $-\left(\min_{w\in C}(w^\top s+\frac12\|w\|_2^2)\right)$ est convexe ou montre qu'il est concave

Question

$$f(s)=-\left(\min_{w\in C}(w^\top s+\frac12\|w\|_2^2)\right)$$ où $C$ est un ensemble compact et convexe $\mathbb{R}^n$

Je crois que la fonction est concave, mais je dois montrer qu'elle est convexe (ce qui pourrait être faux). Veuillez me donner un résultat. Je pense utiliser ce lien qui répond que le minimum d'une fonction convexe paramétrique est convexe pour prouver qu'elle est concave.

Answer 1

Étant donné toute famille de fonctions convexes, le supremum ponctuel est convexe. Voir la réponse ici: Prouvez que le suprême de l'ensemble des fonctions affines est convexe

(Cela suppose que le domaine est compact, mais la preuve ne l'utilise pas, et dans tous les cas, on peut toujours supposer que le domaine est compact en se limitant à un segment de ligne.)

Multiplier par $-1$, nous obtenons que l'infimum point par point des fonctions concaves est concave.

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Les fonctions affines sont concaves, donc l'infimum dans la définition de $f(s)$, de sorte que $f(s)$est convexe. Cet argument n'exige pas que$C$ est convexe.

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Remarque: il n'est pas automatique que le minimum dans votre question existe (cela peut échouer pour certains $C$ si le terme $\frac12 \lVert w \rVert^2$n'est pas là). Mais vous pouvez l'écrire comme$$f(s) = \frac12 \lVert s \rVert^2 - \inf_{w \in C} \frac12 \lVert s + w \rVert^2 $$

et cet infimum est atteint parce que $C$est fermé. De plus, on voit que$$f(s) = \frac12 \lVert s \rVert^2 - \frac12 d(s, -C)^2 \,.$$