Montrer qu'il existe$x_0$tel que$p(x_0) < q(x_0)$pour les polynômes donnés

Question

Si$p(x) = x^4+ax^3+bx^2+cx+d$et$q(x) = x^2+px+q$être deux polynômes à coefficients réels. Supposons qu'il existe un intervalle$(r,s)$de longueur supérieure à 2 telle que les deux$p(x)$et$q(x)$sont négatifs pour$x \in (r,s)$et les deux sont positifs pour$x<r$ou$x>s$. Montrer qu'il existe$x_0$tel que$p(x_0) < q(x_0)$

Depuis$q(x)$est un quadratique, donc$r$et$s$doivent être les racines.

mais,$r$et$s$sont aussi les racines de$p(x)$alors,$q(x)$doit être un facteur de$p(x)$, Donc

$p(x) = q(x)g(x)$

Où$g(x)$est aussi quadratique. Mais c'est tout ce que j'ai pu obtenir. Comment procéder à partir d'ici ? Comment utiliser la condition$s-r > 2$?

Toute aide serait appréciée.

Answer 1

$r$et$s$sont les racines des deux$p(x)$et$q(x)$et donc c'est aussi la racine de$p(x) - q(x)$.

$q(x) = (x-r)(x-s)$où$|r - s| \gt 2$

$p(x) - q(x) = q(x)f(x)$

Assumons$p(x) - q(x)$est toujours non négatif mais étant donné que ses racines sont$r$et$s$, ce n'est possible que si$f(x)$est négatif chaque fois que$q(x)$est et$f(x)$est positif chaque fois$q(x)$est.

Cela signifie qu'il a des racines doubles à$r$et$s$c'est à dire$p(x) - q(x) = (x-r)^2(x-s)^2$

c'est à dire$p(x) - q(x) = q(x)^2$

c'est à dire$p(x) = q(x)(q(x)+1)$

c'est à dire$1+q(x) \gt 0$comme$p(x)$et$q(x)$avoir le même signe du tout$x$.

c'est à dire$x^2-(r+s)x+(rs+1) \gt 0$

Cela ne peut pas être vrai car son discriminant$(r-s)^2 - 4 \gt 0$comme indiqué dans le problème. Il existe donc une valeur de x où$p(x) \lt q(x)$.

[Remarque : fonction$ax^2+bx+c$a deux racines réelles si son discriminant$b^2-4ac \gt 0$]