Montrer qu'une fonction croissante a une dérivée $0$ ae
Laisser $0<p<1$ et définir $F:[0,1]\rightarrow[0,1]$ par $$F(x)=\begin{cases} pF(2x),&x\in\left[0,\frac12\right]\\ p+qF(2x-1),&x\in\left[\frac12,1\right] \end{cases}$$ où $q=1-p$. Je voudrais le prouver$F'(x)=0$ ae
Je suis en train de parcourir "Comment jouer si vous le devez" de Kyle Siegerst, qui est essentiellement une série d'exercices.$F(x)$ est la probabilité qu'un joueur commençant avec une bankroll $0\leq x\leq 1$ atteindra sa cible de $1$s'il s'engage dans un «jeu audacieux» dans le jeu du rouge et du noir. Quand sa bankroll est$\leq\frac12$ il parie tout, remportant le montant du pari avec probabilité $p$et le perdre avec probabilité $q$. Quand sa bankroll est$>\frac12$, il mise juste assez pour atteindre la cible, c'est-à-dire $1-x$.
Dans les exercices, j'ai montré qu'il y a une fonction unique $F$satisfaisant l'équation fonctionnelle ci-dessus, et qu'elle est continue et strictement croissante. Après l'exercice$33$, l'auteur remarque que lorsque $p\neq\frac12$, $F'(X)=0$ ae, pour que $F$est l'escalier du diable. J'ai essayé de prouver cette affirmation. (Je sais qu'une fonction croissante est différentiable, c'est la valeur avec laquelle j'ai des problèmes.)
Vague $50$des souvenirs vieux de plusieurs années de la théorie des mesures m'ont conduit à la proposition 3.31 de «l'analyse réelle» de Folland, à savoir
Si $F\in NBV, \text{ then }F\in L^1(m).$ De plus, $\mu_F\perp m \text{ iff } F' =0$ ae, et $\mu_F \ll m \text{ iff } F(x)=\int_{-\infty}^xF'(t)dt. $
Ici $m$ est la mesure de Lebesgue, et ae est par rapport à la mesure de Lebesgue. $\mu_F$ est la mesure de Borel définie par $\mu_F([a,b])=F(b)-F(a)$. Folland utilise$NBV$ pour signifier que $F$ est de variation limitée, $F(-\infty)=0$ et $F$est juste continue. Ce n'est pas un problème, car nous pouvons prolonger$F$ à $\mathbb{R}$ en définissant $F(x)=0$ pour $x<0$ et $F(x)=1$ pour $x>1$.
Donc ça semble se résumer à montrer $\mu_F\perp m$. Cela signifie qu'il y a un$E\subset[0,1]$ avec $m(E)=0$ et $\mu_F(E)=1$si je ne me trompe pas. Je ne vois pas comment le prouver. En effet, cela ne me semble pas du tout probable, alors je dois mal comprendre quelque chose.
Dans l'exercice 29, j'ai prouvé que $$F(x)=\sum_{n=1}^\infty p_{x_1}\cdots p_{x_{n-1}}px_n$$ où $x_i$ est le nombre de bits $i$ de $x$, et $p_0=p,\ p_1=q$. (Quand$x$ est un rationnel dyadique, nous prenons la représentation terminale.) Si nous représentons les victoires par $1$ et pertes par $0$, cela signifie que le joueur atteint l'objectif si et seulement si la première fois un peu dans sa bankroll correspond au bit de jeu correspondant, ces bits sont à la fois $1$. C'est la représentation la plus concrète de$F$ dans le journal, mais je ne vois pas en quoi cela aide.
Pouvez-vous éclairer cela pour moi?
Réponses
Notez d'abord que $F$ est le cdf de la variable aléatoire $X:=\sum_1^{\infty} 2^{-n} \xi_n$ où le $\xi_n$ sont iid Bernoulli$(p)$Variables aléatoires. En effet, il est clair que$X = \frac12\xi_1+\frac12 Y$, où $Y$ a la même distribution que $X$ et est indépendant de $\xi_1$. Cela donne la relation$$P(X\le x) = P(X\le x|\xi_1=0)P(\xi_1=0)+P(X \le x|\xi_1=1)P(\xi_1=1) $$$$= (pP(Y\leq 2x)+q\cdot 0)1_{\{x \le 1/2\}} + (p\cdot 1 +qP(Y\leq 2x-1))1_{\{x >1/2\}},$$ qui est exactement la relation pour $F$.
Notez maintenant par la loi forte des grands nombres que $X$ est supporté sur l'ensemble des nombres réels dont l'expansion binaire a une densité asymptotique $p$ de $1$'s (ou de manière équivalente, a une densité asymptotique $q$ de $0$'s).
Mais l'ensemble de tous ces nombres réels a Lebesgue mesure zéro. En effet, si nous échantillonnons uniformément un nombre réel de$[0,1]$, alors ses chiffres binaires sont iid Bernoulli$(1/2)$, donc presque sûrement la densité asymptotique de $1$c'est $1/2$, ne pas $p$.
Nous concluons que la loi de $X$ est singulier par rapport à la mesure de Lebesgue, qui équivaut à la condition que $F'=0$ ae.